Uma onda com campo elétrico dado por E(y, t)=E0 cos (k y-omega t) k incide sobre um filtro polarizador disposto perpendicularmente ao eixo y e que tem o eixo de polarização orientado paralelamente à direção do versor do versor u=cos theta imath+sin theta k, sendo theta o ângulo formado entre a direção de polarização do filtro e a direção x.
Determine a energia magnética da onda transmitida;

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos uma onda eletromagnética com um campo elétrico dado por E(y, t) = E0 cos(ky - omega t) k. Essa onda está chegando em um filtro polarizador que está posicionado perpendicularmente ao eixo y. O filtro tem sua direção de polarização alinhada com o versor u = cos theta imath + sin theta k, onde theta é o ângulo entre a direção de polarização do filtro e o eixo x. Nosso objetivo aqui é determinar a energia magnética da onda que passa pelo filtro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que o filtro polarizador faz com a onda incidente. O filtro polarizador permite que apenas a componente do campo elétrico que está alinhada com sua direção de polarização passe. Isso significa que vamos projetar o campo elétrico E na direção do versor u.
A projeção de E na direção de u é dada por:
Etransmitida = (E cdot u) u
Vamos calcular esse produto escalar:
E cdot u = E0 cos(ky - omega t) k cdot (cos theta imath + sin theta k) = E0 cos(ky - omega t) sin theta
Então, o campo elétrico transmitido é:
Etransmitida = E0 cos(ky - omega t) sin theta cdot (cos theta imath + sin theta k)

Passo 3

Agora, vamos relacionar o campo elétrico transmitido com o campo magnético correspondente. Em uma onda eletromagnética, os campos elétrico E e magnético B estão relacionados pela constante c (velocidade da luz):
B = 1c n times E
Onde n é a direção de propagação da onda. Supondo que a onda está se propagando na direção y, temos:
Btransmitida = 1c y times Etransmitida
Fazendo o produto vetorial:
y times (cos theta imath + sin theta k) = cos theta j times imath + sin theta j times k = cos theta k - sin theta imath
Portanto, o campo magnético transmitido é:
Btransmitida = E0c cos(ky - omega t) sin theta (cos theta k - sin theta imath)

Passo 4

A energia magnética por unidade de volume em uma onda eletromagnética é dada por:
uB = 12mu0 B^2
Onde mu0 é a permeabilidade do vácuo. Vamos calcular B^2:
B^2 = (E0c cos(ky - omega t) sin theta)^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = (E0c)^2 cos^2(ky - omega t) sin^2 theta
Já que cos^2 theta + sin^2 theta = 1.
Portanto, a energia magnética é:
uB = 12mu0 (E0c)^2 cos^2(ky - omega t) sin^2 theta
Simplificando, usando a relação c^2 = 1mu0 epsilon0:
uB = epsilon0 E0^22 cos^2(ky - omega t) sin^2 theta

Resposta

A energia magnética da onda transmitida é:
uB = epsilon0 E0^22 cos^2(ky - omega t) sin^2 theta

Exercícios relacionados