5- Considere duas ondas planas no vácuo com os mesmos w, \vec{k} e sentido de polarização \widehat{e}, porém com amplitudes e fases diferentes, \left(E_{o 1}, 0\right) e \left(E_{o 2}, \varphi\right). Calcule o valor médio temporal do vetor de Poynting \langle\vec{S}\rangle da superposição das duas ondas. Observe o efeito de interferência devido à diferença de fase \varphi, que não poderia ocorrer se as duas ondas tivessem direções de polarização perpeindiculares (i. e., \widehat{e}_{1} \cdot \widehat{e}_{2}=0 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor médio temporal do vetor de Poynting da superposição de duas ondas planas no vácuo que têm o mesmo \omega, o mesmo \vec{k} e o mesmo sentido de polarização \widehat{e}, mas amplitudes e fases diferentes: a primeira tem amplitude \(E_{o1}) e fase 0, a segunda tem amplitude \(E_{o2}) e fase \varphi.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{duas ondas elétricas: amplitudes } E_{o1},E_{o2},\\ \text{fases }0,\varphi;\\\ &\text{mesmo número de onda } \vec{k},\\ \text{mesma frequência } \omega;\\\ &\text{mesma direção de polarização } \widehat{e}\\ (\widehat{e}\cdot\widehat{k}=0);\\\ &\text{me pede } \langle\vec S\rangle \text{ (média temporal do vetor de Poynting) da superposição,} \\\ &\text{e observar o efeito de interferência devido a } \varphi \text{ (comparar com o caso } \widehat{e}_1\cdot\widehat{e}_2=0\text{).} \end{aligned}éúêçãçãéçãê

Passo 2

Escrevo as duas ondas elétricas no formato usual (onda plana) usando \theta=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t:
\vec{E}_1(\vec r,t)=\widehat{e}\,E_{o1}\cos\theta, \qquad \vec{E}_2(\vec r,t)=\widehat{e}\,E_{o2}\cos(\theta+\varphi).
Expliquei: usei cossenos por ser uma representação real e simples; \widehat{e} é o vetor unitário de polarização (perpendicular a \widehat{k}).

Passo 3

Em vácuo o campo magnético de uma onda plana está relacionado ao elétrico por
\vec{B}=\frac{1}{c}\,\widehat{k}\times\vec{E},
onde c é a velocidade da luz no vácuo e \widehat{k}=\vec{k}/|\vec{k}| é a direção de propagação. Portanto
\vec{B}_1=\frac{1}{c}\,\widehat{k}\times\widehat{e}\;E_{o1}\cos\theta, \qquad \vec{B}_2=\frac{1}{c}\,\widehat{k}\times\widehat{e}\;E_{o2}\cos(\theta+\varphi).

Passo 4

Somando os campos obtemos os campos totais:
\vec{E}(\vec r,t)=\widehat{e}\big(E_{o1}\cos\theta+E_{o2}\cos(\theta+\varphi)\big),
\vec{B}(\vec r,t)=\frac{1}{c}\,\widehat{k}\times\widehat{e}\big(E_{o1}\cos\theta+E_{o2}\cos(\theta+\varphi)\big).
Observe que a mesma combinação escalar multiplica ambos \widehat{e} e \widehat{k}\times\widehat{e}.

Passo 5

O vetor de Poynting instantâneo é
\vec{S}(t)=\frac{1}{\mu_0}\,\vec{E}\times\vec{B}.
Substituindo \vec{B}=(1/c)\widehat{k}\times\vec{E} temos a identidade vetorial
\vec{E}\times(\widehat{k}\times\vec{E})=(\vec{E}\cdot\vec{E})\,\widehat{k}-(\vec{E}\cdot\widehat{k})\,\vec{E}.
Como \vec{E} é perpendicular a \widehat{k} temos \vec{E}\cdot\widehat{k}=0, logo
\vec{E}\times(\widehat{k}\times\vec{E})=|\vec{E}|^2\,\widehat{k}.
Assim
\vec{S}(t)=\frac{1}{\mu_0 c}\,|\vec{E}(\vec r,t)|^2\,\widehat{k}.
Portanto a direção do fluxo é \widehat{k} e basta calcular a média temporal de |\vec{E}|^2.

Passo 6

Calculo |\vec{E}|^2. Como \vec{E}=\widehat{e}\,E(t) com
E(t)=E_{o1}\cos\theta+E_{o2}\cos(\theta+\varphi),
temos
|\vec{E}|^2=E(t)^2=E_{o1}^2\cos^2\theta+E_{o2}^2\cos^2(\theta+\varphi)+2E_{o1}E_{o2}\cos\theta\cos(\theta+\varphi).
Usamos as identidades trigonométricas para fazer a média temporal (média sobre um período em \theta):
\langle\cos^2(\cdot)\rangle=\tfrac{1}{2}, \qquad \cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)+\cos(A+B)\big).
Aplicando-as:
\langle E(t)^2\rangle=\tfrac{1}{2}E_{o1}^2+\tfrac{1}{2}E_{o2}^2 +2E_{o1}E_{o2}\,\langle\cos\theta\cos(\theta+\varphi)\rangle.
E
\langle\cos\theta\cos(\theta+\varphi)\rangle=\tfrac{1}{2}\langle\cos\varphi+\cos(2\theta+\varphi)\rangle=\tfrac{1}{2}\cos\varphi,
pois \langle\cos(2\theta+\varphi)\rangle=0. Portanto
\langle E(t)^2\rangle=\tfrac{1}{2}E_{o1}^2+\tfrac{1}{2}E_{o2}^2+E_{o1}E_{o2}\cos\varphi.

Passo 7

Substituo esse resultado em \langle\vec S\rangle=(1/(\mu_0 c))\langle|\vec E|^2\rangle\widehat{k}. Assim obtenho
\boxed{\displaystyle \langle\vec S\rangle=\frac{1}{\mu_0 c}\Big(\tfrac{1}{2}E_{o1}^2+\tfrac{1}{2}E_{o2}^2+E_{o1}E_{o2}\cos\varphi\Big)\widehat{k}. }
Uma forma alternativa em termos das intensidades individuais \,I_1=\dfrac{E_{o1}^2}{2\mu_0 c}\, e \,I_2=\dfrac{E_{o2}^2}{2\mu_0 c}\, é
\boxed{\displaystyle \langle\vec S\rangle=\big(I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\varphi\big)\,\widehat{k}. }
Interpretação física rápida: o termo 2\sqrt{I_1I_2}\cos\varphi é o termo de interferência. Para \varphi=0 (em fase) há interferência construtiva máxima; para \varphi=\pi há interferência destrutiva. Se as polarizações fossem perpendiculares, ou seja \widehat{e}_1\cdot\widehat{e}_2=0, o termo cruzado envolveria \widehat{e}_1\cdot\widehat{e}_2 e portanto desapareceria, não havendo termo de interferência na média temporal.

Resposta

\displaystyle \langle\vec S\rangle=\frac{1}{\mu_0 c}\Big(\tfrac{1}{2}E_{o1}^2+\tfrac{1}{2}E_{o2}^2+E_{o1}E_{o2}\cos\varphi\Big)\widehat{k}.\n
\displaystyle \langle\vec S\rangle=\big(I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\varphi\big)\widehat{k},\quad I_j=\dfrac{E_{oj}^2}{2\mu_0 c}.

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