3-Suponha que
e
são vetores complexos bidimensionais no plano xy. Calcule
e compare com
. Demonstre que
não siginifica
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular
e comparar com . - Demonstrar que a condição
não implica .
Informações dadas (implícitas no enunciado):
-
e são vetores no plano cujas componentes são números complexos (vetores complexos bidimensionais). - A operação
aplicada a um vetor significa tomar a parte real de cada componente (ou seja, componente a componente). - O produto escalar entre vetores é o produto escalar usual componente a componente, somando os produtos das componentes correspondentes.
Passo 2
Definições e notação. Vamos escrever explicitamente as componentes:
onde
são números complexos. Escrevemos as partes real e imaginária de cada componente como
onde
,
,
,
. Definimos vetores reais
Produto escalar entre vetores reais
e
é
Passo 3
Expressamos
e
em termos de suas partes real e imaginária:
O produto escalar complexo
é definido componente a componente (sem conjugação), ou seja
Passo 4
Calculamos
usando a expansão:
Distribuindo o produto escalar (é bilinear):
Como
, isso fica
Passo 5
Da expressão acima identificamos a parte real e a parte imaginária:
Por outro lado,
Logo obtemos a relação útil e simples
Interpretação: a parte real do produto pode ser diferente do produto das partes reais por causa do termo extra
. Só dá igualdade quando
.
Passo 6
Agora vamos demonstrar com um contraexemplo concreto que
não implica
.
Escolho
Aqui tirei os dados diretamente das componentes que escolhi; as partes reais e imaginárias são:
Calculamos passo a passo:
Produto escalar das partes reais:
Produto escalar das partes reais:
Produto escalar das partes imaginárias:
Pela fórmula do Passo 5,
Ou, calculando diretamente,
portanto
, enquanto
. Isso mostra explicitamente que
não implica
.
Resposta
Exemplo: para