3-Suponha que \vec{a} e \vec{b} são vetores complexos bidimensionais no plano xy. Calcule \operatorname{Re}(\vec{a}) \cdot \operatorname{Re}(\vec{b}) e compare com \operatorname{Re}(\vec{a} \cdot \vec{b}). Demonstre que \operatorname{Re}(\vec{a} \cdot \vec{b})=0 não siginifica \operatorname{Re}(\vec{a}) \cdot \operatorname{Re}(\vec{b})=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Calcular \operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b}) e comparar com \operatorname{Re}(\vec{a}\cdot\vec{b}).
  2. Demonstrar que a condição \operatorname{Re}(\vec{a}\cdot\vec{b})=0 não implica \operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b})=0.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • \vec{a} e \vec{b} são vetores no plano xy cujas componentes são números complexos (vetores complexos bidimensionais).
  • A operação \operatorname{Re}(\cdot) aplicada a um vetor significa tomar a parte real de cada componente (ou seja, componente a componente).
  • O produto escalar entre vetores é o produto escalar usual componente a componente, somando os produtos das componentes correspondentes.

Passo 2

Definições e notação. Vamos escrever explicitamente as componentes:
\vec{a}=(a_1,a_2),\qquad \vec{b}=(b_1,b_2),
onde a_1,a_2,b_1,b_2 são números complexos. Escrevemos as partes real e imaginária de cada componente como
a_j = u_j + i v_j,\qquad b_j = p_j + i q_j\quad\text{para }j=1,2,
onde u_j=\operatorname{Re}(a_j), v_j=\operatorname{Im}(a_j), p_j=\operatorname{Re}(b_j), q_j=\operatorname{Im}(b_j). Definimos vetores reais
\operatorname{Re}(\vec{a})=\vec{u}=(u_1,u_2),\qquad \operatorname{Im}(\vec{a})=\vec{v}=(v_1,v_2),
\operatorname{Re}(\vec{b})=\vec{p}=(p_1,p_2),\qquad \operatorname{Im}(\vec{b})=\vec{q}=(q_1,q_2).
Produto escalar entre vetores reais \vec{x}=(x_1,x_2) e \vec{y}=(y_1,y_2) é
\vec{x}\cdot\vec{y}=x_1y_1+x_2y_2.

Passo 3

Expressamos \vec{a} e \vec{b} em termos de suas partes real e imaginária:
\vec{a}=\vec{u}+i\vec{v},\qquad \vec{b}=\vec{p}+i\vec{q}.
O produto escalar complexo \vec{a}\cdot\vec{b} é definido componente a componente (sem conjugação), ou seja
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.

Passo 4

Calculamos \vec{a}\cdot\vec{b} usando a expansão:
\vec{a}\cdot\vec{b}=(\vec{u}+i\vec{v})\cdot(\vec{p}+i\vec{q}).
Distribuindo o produto escalar (é bilinear):
\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{u}\cdot\vec{p}+i(\vec{u}\cdot\vec{q}+\vec{v}\cdot\vec{p})+i^2\vec{v}\cdot\vec{q}.
Como i^2=-1, isso fica
\vec{a}\cdot\vec{b}=(\vec{u}\cdot\vec{p}-\vec{v}\cdot\vec{q}) + i(\vec{u}\cdot\vec{q}+\vec{v}\cdot\vec{p}).

Passo 5

Da expressão acima identificamos a parte real e a parte imaginária:
\operatorname{Re}(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{u}\cdot\vec{p}-\vec{v}\cdot\vec{q}.
Por outro lado,
\operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b})=\vec{u}\cdot\vec{p}.
Logo obtemos a relação útil e simples
\operatorname{Re}(\vec{a}\cdot\vec{b})=\operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b})-\operatorname{Im}(\vec{a})\cdot\operatorname{Im}(\vec{b}).
Interpretação: a parte real do produto pode ser diferente do produto das partes reais por causa do termo extra -\operatorname{Im}(\vec{a})\cdot\operatorname{Im}(\vec{b}). Só dá igualdade quando \operatorname{Im}(\vec{a})\cdot\operatorname{Im}(\vec{b})=0.

Passo 6

Agora vamos demonstrar com um contraexemplo concreto que \operatorname{Re}(\vec{a}\cdot\vec{b})=0 não implica \operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b})=0.
Escolho
\vec{a}=(1+i,\,0),\qquad \vec{b}=(1+i,\,0).
Aqui tirei os dados diretamente das componentes que escolhi; as partes reais e imaginárias são:
\operatorname{Re}(\vec{a})=(1,0),\quad \operatorname{Im}(\vec{a})=(1,0),
\operatorname{Re}(\vec{b})=(1,0),\quad \operatorname{Im}(\vec{b})=(1,0).
Calculamos passo a passo:
Produto escalar das partes reais:
\operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b})=(1,0)\cdot(1,0)=1\cdot 1+0\cdot 0=1.
Produto escalar das partes imaginárias:
\operatorname{Im}(\vec{a})\cdot\operatorname{Im}(\vec{b})=(1,0)\cdot(1,0)=1.
Pela fórmula do Passo 5,
\operatorname{Re}(\vec{a}\cdot\vec{b})=\operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b})-\operatorname{Im}(\vec{a})\cdot\operatorname{Im}(\vec{b})=1-1=0.
Ou, calculando diretamente,
\vec{a}\cdot\vec{b}=(1+i)^2+0=(1+2i-1)=2i,
portanto \operatorname{Re}(\vec{a}\cdot\vec{b})=0, enquanto \operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b})=1. Isso mostra explicitamente que \operatorname{Re}(\vec{a}\cdot\vec{b})=0 não implica \operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b})=0.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Re}(\vec{a}\cdot\vec{b})=\operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b})-\operatorname{Im}(\vec{a})\cdot\operatorname{Im}(\vec{b})
Exemplo: para \vec{a}=(1+i,0) e \vec{b}=(1+i,0) temos \operatorname{Re}(\vec{a}\cdot\vec{b})=0 e \operatorname{Re}(\vec{a})\cdot\operatorname{Re}(\vec{b})=1.

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