4- Duas ondas planas possuem os mesmos valores de w, \vec{k} e amplitude E_{o}, mas polarização circular oposta (i. e., esquerda e direita). Mostre que a superposição destas duas ondas é linearmente polarizada, com magnitude 2 E_{o}.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas planas que têm os mesmos valores de \omega, de \vec{k} e a mesma amplitude E_{o}, mas polarização circular oposta (uma é circular direita e a outra é circular esquerda). Pede-se para mostrar que a superposição dessas duas ondas resulta numa onda linearmente polarizada e que a magnitude (amplitude) dessa onda linear é 2 E_{o}.
Informações relevantes fornecidas:
\omega,\\ \vec{k}\\ \text{iguais para as duas ondas},
\text{cada onda tem amplitude } E_{o},
\text{uma é circularmente polarizada à direita e a outra à esquerda}.éàà

Passo 2

O que significa “polarização circular” (explicação didática curta e necessária para entender a resolução).
  • Uma onda eletromagnética plana que viaja na direção de \vec{k} tem o campo elétrico no plano transverse (por exemplo, suponha que \vec{k} esteja na direção z, então o campo elétrico está no plano xy).
  • Polarização circular significa que as componentes x e y do campo têm a mesma amplitude e estão defasadas de 90^\circ (ou \pi/2 rad): uma componente é um cosseno e a outra é um seno (com sinal + ou −), fazendo com que a ponta do vetor campo gire descrevendo um círculo ao longo do tempo num ponto fixo no espaço.
  • Em termos simples: se a fase comum for \varphi(\vec{r},t)=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t, uma polarização circular pode ser escrita com componentes proporcionais a \cos\varphi e \pm\sin\varphi, o sinal + ou - distinguindo as rotações direita/esquerda.

Passo 3

Escolhemos uma representação concreta e simples (sem usar phasores complexos) para as duas ondas — isso evita confusão com fatores \sqrt{2}. Tome a fase comum
\varphi(\vec{r},t)=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t.
Escrevemos as duas ondas (campos elétricos reais) assim:
  • onda circular direita ®:
\vec{E}_R(\vec{r},t)=E_{o}\bigl(\hat{x}\cos\varphi(\vec{r},t)+\hat{y}\sin\varphi(\vec{r},t)\bigr).
  • onda circular esquerda (L):
\vec{E}_L(\vec{r},t)=E_{o}\bigl(\hat{x}\cos\varphi(\vec{r},t)-\hat{y}\sin\varphi(\vec{r},t)\bigr).
Comentário didático: em cada expressão as componentes x e y têm igual amplitude E_{o} e estão defasadas de 90^\circ (porque um é \cos\varphi e o outro é \pm\sin\varphi). O sinal positivo em \sin corresponde a rotação numa direção; o sinal negativo inverte a rotação — por isso uma é direita e a outra é esquerda.

Passo 4

Agora calculamos a superposição (soma) das duas ondas componente a componente:
\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}_R(\vec{r},t)+\vec{E}_L(\vec{r},t).
Substituindo as expressões do Passo 3:
\vec{E}(\vec{r},t)=E_{o}\bigl(\hat{x}\cos\varphi+\hat{y}\sin\varphi\bigr) +E_{o}\bigl(\hat{x}\cos\varphi-\hat{y}\sin\varphi\bigr).

Passo 5

Somamos termos correspondentes em \hat{x} e \hat{y}:
  • Para \hat{x}:
E_{o}\cos\varphi + E_{o}\cos\varphi = 2E_{o}\cos\varphi.
  • Para \hat{y}:
E_{o}\sin\varphi - E_{o}\sin\varphi = 0.
Portanto a soma fica
\vec{E}(\vec{r},t)=2E_{o}\,\hat{x}\,\cos\varphi(\vec{r},t).

Passo 6

Interpretação didática do resultado:
  • O vetor campo resultante aponta sempre na direção fixa \hat{x} (não gira), e sua dependência temporal/espacial é apenas multiplicativa por \cos\varphi(\vec{r},t). Isso é exatamente o que chamamos de polarização linear: a direção do campo é fixa (aqui \hat{x}) e a amplitude oscila em sinal com frequência \omega.
  • A amplitude máxima dessa oscilação é 2E_{o}, porque o prefator multiplicativo é 2E_{o}.

Resposta

\vec{E}(\vec{r},t)=2E_{o}\,\hat{x}\,\cos\bigl(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t\bigr)
Portanto, a superposição é linearmente polarizada na direção \hat{x} e tem magnitude 2E_{o}.

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