Considere duas ondas que se propagam em um mesmo meio homogêneo, u 1(x, t)=A \operatorname{sen}[(k+\Delta k) x-(\omega+\Delta \omega) t] e u2 (x, t)=A \operatorname{sen}[(k-\Delta k) x-(\omega-\Delta \omega) t]. Qual é a expressão da onda resultante?
u(x, t)=2 A \operatorname{sen}(k x-\omega t) \operatorname{sen}(\Delta k x-\Delta \omega t).
u(x, t)=2 A \cos (k x-\omega t) \cos (\Delta k x+\Delta \omega t).
u(x, t)=2 A \operatorname{sen}(k x-\omega t) \cos (\Delta k x+\Delta \omega t).
u(x, t)=2 A \operatorname{sen}(k x-\omega t) \operatorname{sen}(\Delta k x+\Delta \omega t).
u(x, t)=2 A \cos (k x-\omega t) \cos (\Delta k x-\Delta \omega t).
u(x, t)=2 A \operatorname{sen}(k x-\omega t) \cos (\Delta k x-\Delta \omega t).
u(x, t)=2 A \cos (k x-\omega t) \operatorname{sen}(\Delta k x-\Delta \omega t).
u(x, t)=2 A \cos (k x-\omega t) \operatorname{sen}(\Delta k x+\Delta \omega t).
Esta onda resultante é um exemplo do fenômeno de?

Passo 1

O enunciado dá duas ondas de mesma amplitude A:
u_1(x,t)=A\sin\bigl[(k+\Delta k)x-(\omega+\Delta\omega)t\bigr], \quad u_2(x,t)=A\sin\bigl[(k-\Delta k)x-(\omega-\Delta\omega)t\bigr].
Queremos somá-las usando a identidade de soma de senos, que é o conteúdo principal aqui.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\!\Bigl(\frac{\alpha+\beta}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{\alpha-\beta}{2}\Bigr).
Aqui seja
\alpha=(k+\Delta k)x-(\omega+\Delta\omega)t, \quad \beta=(k-\Delta k)x-(\omega-\Delta\omega)t.
Então
\frac{\alpha+\beta}{2} =\frac{(k+\Delta k)x-(\omega+\Delta\omega)t+(k-\Delta k)x-(\omega-\Delta\omega)t}{2} =kx-\omega t
e
\frac{\alpha-\beta}{2} =\frac{(k+\Delta k)x-(\omega+\Delta\omega)t-(k-\Delta k)x+(\omega-\Delta\omega)t}{2} =\Delta k\,x-\Delta\omega\,t.

Passo 3

Substituindo na identidade,
u(x,t)=u_1+u_2 =2A\sin(kx-\omega t)\,\cos(\Delta k\,x-\Delta\omega\,t).
Entre as opções dadas, essa é a que coincide.

Passo 4

Essa forma de onda, com uma portadora \sin(kx-\omega t) modulada em amplitude por \cos(\Delta k\,x-\Delta\omega\,t), caracteriza o fenômeno de batimentos.

Resposta

u(x,t)=2A\sin(kx-\omega t)\cos(\Delta k\,x-\Delta\omega\,t) Fenômeno: batimentos.

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