Questão 42
Uma corda tensionada tem massa 0.2 kg e comprimento 3.6 m . Que potência média deve ser fornecida à corda para que sejam geradas ondas senoidais de amplitude 0.125 m e comprimento de onda 0.56 m que se propagam com velocidade 31 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá uma corda de massa 0,2\:\mathrm{kg} e comprimento 3,6\:\mathrm{m}, sobre a qual se propagam ondas senoidais de amplitude 0,125\:\mathrm{m}, comprimento de onda 0,56\:\mathrm{m} e velocidade 31\:\mathrm{m/s}. Precisamos calcular a potência média fornecida à corda para manter essas ondas. O conteúdo envolve ondas em corda tensionada, densidade linear de massa e a fórmula da potência média transportada por uma onda transversal.

Passo 2

Calculamos primeiro a densidade linear de massa da corda, que é
\mu = \frac{m}{L} = \frac{0,2}{3,6}\:\mathrm{kg/m} \approx 0,05556\:\mathrm{kg/m}.

Passo 3

A frequência angular \omega da onda relaciona-se com a velocidade v e o comprimento de onda \lambda por
v = \lambda f \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{v}{\lambda} \quad\text{e}\quad \omega = 2\pi f.
Logo,
\omega = 2\pi \,\frac{v}{\lambda} = 2\pi\,\frac{31}{0,56}\:\mathrm{rad/s} \approx 347{,}5\:\mathrm{rad/s}.

Passo 4

A potência instantânea numa corda tensionada é dada por
P(x,t) = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t},
mas a potência média ao longo do tempo para uma onda senoidal transverse vem da expressão conhecida
P_{\text{média}} = \frac{1}{2}\,\mu\,v\,\omega^{2}\,A^{2}.é

Passo 5

Substituindo \mu, v, \omega e a amplitude A=0,125\:\mathrm{m} na fórmula de P_{\text{média}}é:
P_{\text{média}} = \frac{1}{2}\,(0,05556)\,(31)\,(347{,}5)^{2}\,(0,125)^{2}.é
Calculando passo a passo:
(347{,}5)^{2}\approx120{,}774, \quad (0,125)^{2}=0,015625,
0,05556\times31\times120{,}774\approx208{,}095, \quad \frac{1}{2}\times208{,}095\approx104{,}048,
P_{\text{média}} \approx104{,}048\times0,015625 \approx1\,625\:\mathrm{W}.é

Resposta

A potência média necessária é aproximadamente
1{,}63\times10^{3}\:\mathrm{W}.

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