Questão 44

Dois pulsos viajando na mesma corda são descritos pelas funções:
\mathrm{y} 1(\mathrm{x}, \mathrm{t})=-\frac{A}{(k x-\omega t)^{2}+2},
\mathrm{y}_{2}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=\frac{A}{(k x-\omega t+\Phi)^{2}+2},
sendo \mathrm{A}=4 \mathrm{~cm}, \mathrm{k}=2.8 \mathrm{~m}^{-1}, \omega=2.6 \mathrm{~s}^{-1} e \varphi=1.7.
a) Em que instante de tempo \bar{t} os dois pulsos se cancelam, para qualquer valor de X ?
b) Em qual posição \bar{x} da corda os pulsos se cancelam, para qualquer valor de t ?

Passo 1

O enunciado dá duas perturbações na corda,
y_1(x,t) = -\frac{A}{\bigl(kx - \omega t\bigr)^2 + 2} \quad\text{e}\quad y_2(x,t) = \frac{A}{\bigl(kx - \omega t + \Phi\bigr)^2 + 2},
com A=4\\ \mathrm{cm}, k=2{,}8\\ \mathrm{m}^{-1}, \omega=2{,}6\\ \mathrm{s}^{-1} e \Phi=1{,}7.
Queremos o instante \bar t em que y_1+y_2=0 e a posição \bar x em que também y_1+y_2=0.

Passo 2

Aplicamos o princípio da superposição e impomos
y_1(x,t) + y_2(x,t) = 0 \;\Longrightarrow\; -\frac{A}{(kx-\omega t)^2+2} + \frac{A}{(kx-\omega t+\Phi)^2+2} = 0.
Para que isso ocorra basta que os denominadores sejam iguais, ou seja,
(kx-\omega t)^2 \;=\;(kx-\omega t + \Phi)^2.
Da igualdade de quadrados segue
kx - \omega t = -\bigl(kx - \omega t + \Phi\bigr).
Isso dá a condição
2\,(kx-\omega t) + \Phi = 0.

Passo 3

Da equação 2\,(kx-\omega t)+\Phi=0 obtemos primeiro \bar t em função de x:
kx - \omega\,\bar t = -\frac{\Phi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \omega\,\bar t = kx + \frac{\Phi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \bar t = \frac{k}{\omega}\,x + \frac{\Phi}{2\,\omega}.
Substituindo os valores numéricos:
\bar t = \frac{2{,}8}{2{,}6}\,x + \frac{1{,}7}{2\cdot2{,}6} \approx 1{,}0769\,x + 0{,}3269\quad(\mathrm{s}),
com x em metros.

Passo 4

Da mesma condição 2\,(kx-\omega t)+\Phi=0 isolamos \bar x em função de t:
kx - \omega t = -\frac{\Phi}{2} \quad\Longrightarrow\quad kx = \omega t - \frac{\Phi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \bar x = \frac{\omega}{k}\,t - \frac{\Phi}{2\,k}.
Numericamente:
\bar x = \frac{2{,}6}{2{,}8}\,t - \frac{1{,}7}{2\cdot2{,}8} \approx 0{,}9286\,t - 0{,}3036\quad(\mathrm{m}).

Resposta

(a) \displaystyle \bar t = \frac{k}{\omega}\,x + \frac{\Phi}{2\,\omega} \approx 1{,}0769\,x + 0{,}3269\\ \mathrm{s}.
(b) \displaystyle \bar x = \frac{\omega}{k}\,t - \frac{\Phi}{2\,k} \approx 0{,}9286\,t - 0{,}3036\\ \mathrm{m}.

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