Considere os três vetores deslocamento A=(3 i- 3 j) m, B=(i-4 j) m, e C=(-2 i+5 j) m. Use o método das componentes para determinar a magnitude e a direção dos vetores A+B+C e -A-B+C.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em componentes: A=(3i-3j),m, B=(1i-4j),m e C=(-2i+5j),m. O objetivo é usar soma de componentes para encontrar a magnitude e a direção de A+B+C e de -A-B+C, aplicando em seguida as fórmulas de magnitude e de ângulo por arctan.

Passo 2

Somamos as componentes de A+B+C para obter o vetor resultante R1:
R1=A+B+C=(3+1-2),i+(-3-4+5),j=2,i-2,j
Para qualquer vetor R=Rx,i+Ry,j, a magnitude é dada por
$$
|\vec{R}|=\sqrt{R_x2+R_y2}
|R|=raizRx^2+Ry^2 çãâçã\theta=\arctan\bigl(\tfrac{R_y}{R_x}\bigr)
$$.

Passo 3

Aplicando em R1:
  • Magnitude:
|R1|=raiz2^2+(-2)^2=raiz8=2raiz2,m
  • Direção:
$$\theta_1=\arctan\bigl(\tfrac{-2}{2}\bigr)=\arctan(-1)=-45^\circ
$$
Isso significa que theta1=arctanl(tfrac-22r)=arctan(-1)=-45^circ faz R1 abaixo do eixo 45^circ.

Passo 4

Agora calculamos -A-B+C para obter R2:
R2=-A-B+C=(-3-1-2),i+(3+4+5),j=-6,i+12,j
Usando as mesmas fórmulas em R2:
- Magnitude:
$$
|\vec{R}_2|=\sqrt{(-6)2+122}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5},m
|R2|=raiz(-6)^2+12^2=raiz36+144=raiz180=6raiz5,m çã\theta_2=\arctan\bigl(\tfrac{12}{-6}\bigr)=\arctan(-2)\approx-63,43^\circ
theta2=arctanl(tfrac12-6r)=arctan(-2)approx-63,43^circ á\theta_2=180\circ-63,43\circ=116,57^\circ
$$

Passo 5

Esses são os resultados pedidos.

Resposta

Para A+B+C: magnitude = 2raiz2,m, direção = -45^circ (ou 315^circ).
Para -A-B+C: magnitude = 6raiz5,m, direção = 116,6^circ.

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