Mostre que, para qualquer ângulo \alpha temos:
\cos (2 \alpha)=1-2 \operatorname{sen}^{2}(\alpha)

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que \cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha). O conteúdo aqui é a identidade de ângulo duplo em trigonometria, e vamos precisar da fórmula de adição para cosseno e da identidade pitagórica \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de adição de cosseno:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Tomando a=b=\alpha, fica
\cos(2\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha =\cos^2\!\alpha-\sin^2\!\alpha.

Passo 3

Usamos a identidade pitagórica \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1, de onde
\cos^2\!\alpha=1-\sin^2\!\alpha.
Substituindo em \cos(2\alpha)=\cos^2\!\alpha-\sin^2\!\alpha, obtemos
\cos(2\alpha)=(1-\sin^2\!\alpha)-\sin^2\!\alpha =1-2\sin^2\!\alpha.

Resposta

\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)

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