Mostre que, para qualquer ângulo \alpha temos:
\cos (2 \alpha)=2 \operatorname{sen}(\alpha) \cos (\alpha)

Passo 1

O enunciado pede para “mostrar que \cos(2\alpha)=2\operatorname{sen}(\alpha)\cos(\alpha)”, mas essa identidade está invertida: o correto é
\boxed{\operatorname{sen}(2\alpha)=2\,\operatorname{sen}(\alpha)\cos(\alpha)}.
Logo, vamos provar a fórmula de ângulo duplo para o seno, que é justamente \operatorname{sen}(2\alpha)=2\operatorname{sen}(\alpha)\cos(\alpha). Esse resultado vem da fórmula de soma de ângulos em trigonometria.

Passo 2

Lembra da identidade de soma para o seno: para quaisquer ângulos \alpha e \beta, vale
\operatorname{sen}(\alpha+\beta)=\operatorname{sen}(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\operatorname{sen}(\beta).
Vamos aplicá-la com \beta=\alpha, isto é, somar \alpha com ele mesmo.

Passo 3

Tomando \beta=\alpha na fórmula de soma, obtemos
\operatorname{sen}(\alpha+\alpha) =\operatorname{sen}(\alpha)\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\operatorname{sen}(\alpha).
Como \alpha+\alpha=2\alpha, isso fica
\operatorname{sen}(2\alpha) =\operatorname{sen}(\alpha)\cos(\alpha)+\operatorname{sen}(\alpha)\cos(\alpha) =2\,\operatorname{sen}(\alpha)\cos(\alpha).

Resposta

\operatorname{sen}(2\alpha)=2\,\operatorname{sen}(\alpha)\cos(\alpha).

Exercícios relacionados