No tetraedro O A B C, determine m para que X=O+m\left(\frac{\overrightarrow{O A}}{3}-\overrightarrow{O B}+\frac{\overrightarrow{O C}}{2}\right) pertença ao plano ABC .

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro com vértices O,A,B,C e define o ponto
X = O + m\Bigl(\tfrac{\overrightarrow{OA}}{3} - \overrightarrow{OB} + \tfrac{\overrightarrow{OC}}{2}\Bigr).
Queremos achar m tal que X pertença ao plano determinado por A,B,C.
Conteúdo: vetores em espaço e condição de ponto no plano via coordenadas barycêntricas (ou soma dos coeficientes igual a 1).

Passo 2

Seja \overrightarrow{OA} = \mathbf{a}, \overrightarrow{OB} = \mathbf{b} e \overrightarrow{OC} = \mathbf{c}.
Então o vetor posição de X é
\overrightarrow{OX} = m\Bigl(\tfrac{1}{3}\mathbf{a} - \mathbf{b} + \tfrac{1}{2}\mathbf{c}\Bigr).
Qualquer ponto do plano ABC tem forma
\overrightarrow{OP} = \alpha\,\mathbf{a} + \beta\,\mathbf{b} + \gamma\,\mathbf{c} \quad\text{com}\quad \alpha+\beta+\gamma = 1.

Passo 3

Comparando
\overrightarrow{OX} = m\Bigl(\tfrac{1}{3}\mathbf{a} - \mathbf{b} + \tfrac{1}{2}\mathbf{c}\Bigr) = \underbrace{\tfrac{m}{3}}_{\alpha}\,\mathbf{a} + \underbrace{(-m)}_{\beta}\,\mathbf{b} + \underbrace{\tfrac{m}{2}}_{\gamma}\,\mathbf{c},
vemos que \alpha = \tfrac{m}{3},\,\beta = -m,\,\gamma = \tfrac{m}{2}.

Passo 4

A condição para estar no plano ABC é
\alpha + \beta + \gamma = 1.
Logo
\tfrac{m}{3} - m + \tfrac{m}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad m\Bigl(\tfrac{1}{3} -1 + \tfrac{1}{2}\Bigr) = 1 \quad\Longrightarrow\quad m\Bigl(-\tfrac{1}{6}\Bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad m = -6.

Resposta

m = -6

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