\lambda<2
Classifique em verdadeiro ou falso as afirmações referentes a superfície esférica de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y+4 z=0.
O ponto P=(3,2,-1) é um ponto interior a superficie esférica.
Escolher…
o centro da superficie esférica é (1,2,-2).
O ponto P=(2,0,-2) é um ponto exterior a superfície esférica.
Escolher…
O ponto P=(-1,2,-2) é um ponto da superfície esférica.
Escolher…
O raio da superficie esférica é r=4.

Passo 1

O enunciado fornece a superfície esférica de equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y+4z=0
e pede para classificar em verdadeiro ou falso as afirmações sobre pontos e propriedades desta esfera. Vamos completar quadrados para encontrar o centro e o raio e depois verificar cada afirmação pela distância do ponto ao centro.

Passo 2

Reescrevendo a equação original agrupando termos:
x^{2}-2x + y^{2}-4y + z^{2}+4z = 0.
Comple­to os quadrados em cada variável:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1,\quad y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4,\quad z^{2}+4z = (z+2)^{2}-4.
Substituindo na equação:
(x-1)^{2}-1 + (y-2)^{2}-4 + (z+2)^{2}-4 = 0
\Rightarrow (x-1)^{2} + (y-2)^{2} + (z+2)^{2} -9 = 0
\Rightarrow (x-1)^{2} + (y-2)^{2} + (z+2)^{2} = 9.
Logo, o centro é C=(1,2,-2) e o raio é r=\sqrt{9}=3.

Passo 3

Para P=(3,2,-1), a distância ao centro é
d^{2} = (3-1)^{2} + (2-2)^{2} + (-1+2)^{2} = 2^{2} + 0 + 1^{2} = 5 < 9.
Como d^{2}<r^{2}, P é interior.

Passo 4

Comparando o centro encontrado C=(1,2,-2) com a afirmação, vemos que coincide.

Passo 5

Para Q=(2,0,-2),
d^{2} = (2-1)^{2} + (0-2)^{2} + (-2+2)^{2} = 1 + 4 + 0 = 5 < 9.
Então Q também é interior, não exterior.

Passo 6

Para R=(-1,2,-2),
d^{2} = (-1-1)^{2} + (2-2)^{2} + (-2+2)^{2} = 4 + 0 + 0 = 4 < 9.
Portanto R é interior, não pertence à superfície.

Passo 7

Afirmar que o raio é r=4 está em desacordo com r=3 obtido acima.

Resposta

O ponto P=(3,2,-1) é interior: Verdadeiro.
O centro é (1,2,-2): Verdadeiro.
O ponto Q=(2,0,-2) é exterior: Falso.
O ponto R=(-1,2,-2) pertence à superfície: Falso.
O raio da superfície é r=4: Falso.

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