Considere duas transformações,
e
:
Com relação as transformações acima resolva os problemas abaixo :
Determinar uma base para
e
.
Determinar uma base para
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
cujos valores em dois vetores independentes são
Queremos encontrar uma base para o núcleo
e para a imagem
. Usaremos o fato de que
é base de
e a linearidade de
.
Passo 2
Expressamos um vetor genérico
Isso dá o sistema
Da primeira equação vem (b = x + 2a]. Substituindo na segunda:
Pela linearidade,
Logo
Passo 3
Para achar o núcleo, impomos
A terceira equação é redundante (é e, substituindo na segunda,
Só há solução trivial, portanto
O espaço nulo é a subespaço trivial, cuja base é o conjunto vazio.
Passo 4
A imagem de
T é o subespaço de
R^3 gerado pelas colunas de
T , ou equivalentemente por
T(-2,3) e
T(1,-2) . Como
são linearmente independentes em
R^3 , elas formam uma base de
Im(T) . Assim
Resposta
Uma base para
Nuc(T) é o conjunto vazio (pois o núcleo é
0 ).
Uma base para
Im(T) é