Considere duas transformações, T e S :
& T: R^2 longrightarrow R^3 & com I) T(-2,3)=(-1,0,1) e II) T(1,-2)=(0,-1,0) & S: R^2 longrightarrow R^2 & (x, y) longmapsto(|x|,-y)
Com relação as transformações acima resolva os problemas abaixo :
Determinar uma base para Nuc(T) e Im(T).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^2toR^3 cujos valores em dois vetores independentes são
T(-2,3)=(-1,0,1), T(1,-2)=(0,-1,0)
Queremos encontrar uma base para o núcleo Nuc(T) e para a imagem Im(T). Usaremos o fato de que (-2,3),(1,-2) é base de R^2 e a linearidade de T.

Passo 2

Expressamos um vetor genérico
Isso dá o sistema
Da primeira equação vem (b = x + 2a]. Substituindo na segunda:
Pela linearidade,
Logo

Passo 3

Para achar o núcleo, impomos
A terceira equação é redundante (é e, substituindo na segunda,
Só há solução trivial, portanto
O espaço nulo é a subespaço trivial, cuja base é o conjunto vazio.

Passo 4

A imagem de T é o subespaço de R^3 gerado pelas colunas de T, ou equivalentemente por T(-2,3) e T(1,-2). Como
(-1,0,1) e (0,-1,0)
são linearmente independentes em R^3, elas formam uma base de Im(T). Assim
Im(T)=span(-1,0,1),,(0,-1,0)

Resposta

Uma base para Nuc(T) é o conjunto vazio (pois o núcleo é 0).
Uma base para Im(T) é
,(-1,0,1),;(0,-1,0)

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