Considere duas transformações, T e S :
& T: R^2 longrightarrow R^3 & com I) T(-2,3)=(-1,0,1) e II) T(1,-2)=(0,-1,0) & S: R^2 longrightarrow R^2 & (x, y) longmapsto(|x|,-y)
Com relação as transformações acima resolva os problemas abaixo :
Verificar que S não é uma transformação linear pela definição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! Aqui, temos duas transformações, T e S. Nosso foco é a transformação S, que vai de R^2 para R^2 e é definida por (x, y) mapsto (|x|, -y). Precisamos verificar se S é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que define uma transformação linear e aplicar esses conceitos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação S é linear se, para quaisquer vetores u, v e qualquer escalar c, as seguintes duas condições forem verdadeiras:
  1. Adição de vetores: S(u + v) = S(u) + S(v)
  2. Multiplicação por escalar: S(cu) = cS(u)
Vamos testar essas condições para a transformação S.

Passo 3

Vamos começar verificando a adição de vetores. Escolha dois vetores quaisquer em R^2, por exemplo, u = (x1, y1) e v = (x2, y2).
Primeiro, calculamos S(u + v):
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
S(u + v) = (|x1 + x2|, -(y1 + y2))
Agora, calculamos S(u) + S(v):
S(u) = (|x1|, -y1)
S(v) = (|x2|, -y2)
S(u) + S(v) = (|x1| + |x2|, -y1 - y2)
Para S ser linear, essas duas expressões devem ser iguais:
(|x1 + x2|, -(y1 + y2)) = (|x1| + |x2|, -y1 - y2)
Isso acontece somente se |x1 + x2| = |x1| + |x2|. Mas, isso só é verdade quando x1 e x2 têm o mesmo sinal. Se tiverem sinais diferentes, essa igualdade não se sustenta.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja c um escalar qualquer e u = (x, y).
Primeiro, calculamos S(cu):
cu = (c x, c y)
S(cu) = (|c x|, -c y)
= |c|,|x|, -c y
Agora, calculamos c S(u):
S(u) = (|x|, -y)
c S(u) = (c |x|, -c y)
Para S ser linear, essas duas expressões devem ser iguais:
|c|,|x|, -c y = (c |x|, -c y)
Isso só é verdade se |c| = c, o que acontece apenas quando c é não negativo. Se c for negativo, |c| = -c, e as duas expressões não são iguais.

Passo 5

Como vimos, a transformação S não satisfaz as duas condições necessárias para ser linear:
  1. A adição de vetores só funciona se os componentes x tiverem o mesmo sinal.
  2. A multiplicação por escalar só funciona para escalar não negativos.
Portanto, S não é uma transformação linear.

Resposta

A transformação S não é linear porque não satisfaz as condições de preservação da adição de vetores e da multiplicação por escalar para todos os casos.

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