Considere duas transformações,
e
:
Com relação as transformações acima resolva os problemas abaixo :
Verificar que
não é uma transformação linear pela definição .
Verificar que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! Aqui, temos duas transformações,
e
. Nosso foco é a transformação
, que vai de
para
e é definida por
. Precisamos verificar se
é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que define uma transformação linear e aplicar esses conceitos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
,
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições forem verdadeiras:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos testar essas condições para a transformação
.
Passo 3
Vamos começar verificando a adição de vetores. Escolha dois vetores quaisquer em
, por exemplo,
e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Para
ser linear, essas duas expressões devem ser iguais:
Isso acontece somente se
. Mas, isso só é verdade quando
e
têm o mesmo sinal. Se tiverem sinais diferentes, essa igualdade não se sustenta.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Para
ser linear, essas duas expressões devem ser iguais:
Isso só é verdade se
, o que acontece apenas quando
é não negativo. Se
for negativo,
, e as duas expressões não são iguais.
Passo 5
Como vimos, a transformação
não satisfaz as duas condições necessárias para ser linear:
- A adição de vetores só funciona se os componentes
tiverem o mesmo sinal. - A multiplicação por escalar só funciona para escalar não negativos.
Portanto,
não é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
não é linear porque não satisfaz as condições de preservação da adição de vetores e da multiplicação por escalar para todos os casos.