Considere duas transformações, T e S :
& T: R^2 longrightarrow R^3 & com I) T(-2,3)=(-1,0,1) e II) T(1,-2)=(0,-1,0) & S: R^2 longrightarrow R^2 & (x, y) longmapsto(|x|,-y)
Com relação as transformações acima resolva os problemas abaixo :
Determine T^-1, se existir .

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^2 to R^3
tal que
T(-2,3)=(-1,0,1), T(1,-2)=(0,-1,0)
Queremos saber se T é invertível (restrita ao seu imagem) e, em caso afirmativo, encontrar T^-1.

Passo 2

Verificamos que (-2,3) e (1,-2) são linearmente independentes em R^2, pois
det-2 & 13 & -2 =(-2)(-2)-1cdot3=4-3=1neq0
Logo (-2,3),(1,-2) é base de R^2. Dado (x,y)inR^2, existem únicos alpha,beta tais que
(x,y)=alpha(-2,3)+beta(1,-2),
i.e. resolvendo
-2alpha+beta = x, 3alpha-2beta = y

Passo 3

Pela linearidade de T,
T(x,y) =alpha,T(-2,3)+beta,T(1,-2) =alpha(-1,0,1)+beta(0,-1,0) =(-alpha,-beta,alpha)

Passo 4

Se (u,v,w) está no imagem de T, então
u=-alpha, v=-beta, w=alpha
Dessas igualdades segue alpha=w e beta=-v, e ainda a consistência exige
u=-alpha=-wLong<=ftrightarrow u+w=0

Passo 5

Retornando à expressão de (x,y) em função de alpha,beta,
(x,y)=(-2alpha+beta,;3alpha-2beta) =(-2w - v,;3w + 2v)
Como w=-u, podemos também escrever
(x,y)=(2u - v,;-3u + 2v)
Portanto a inversa (definida sobre o plano (u,v,w):u+w=0subsetR^3) é

Resposta

T^-1(u,v,w)=(-2w - v,;3w+2v), com u+w=0

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