Considere o sistema linear: .
Discuta-o em função do parâmetro m, isto é, determine para quais valores de m o sistema é impossível (SI), possível determinado (SPD) ou possível indeterminado (SPI). No caso do sistema admitir solução, não esqueça de determinar qual (ou quais) é (ou são) ela(s) de acordo com o valor de m.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe trata de um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas: x, y, z e w. A ideia é analisar como o parâmetro m afeta as soluções desse sistema. Precisamos descobrir para quais valores de m o sistema não tem solução (SI), tem uma única solução (SPD) ou tem infinitas soluções (SPI). Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss para simplificar o sistema e ver o que acontece conforme mudamos m.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de equações:
x + y + z + 4w = -3 (1) 3x + y + z + 2w = 1 (2) 2x + 2y + 3z + 10w = m - 6 (3) - x - y + (-m -1)z + (m^2 -4m -4)w = -1 (4)
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema para facilitar a nossa análise:
Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde conseguimos identificar facilmente condições para m.
Primeiro, vamos usar a Equação (1) para eliminar x das Equações (2), (3) e (4).
Para a Equação (2): Subtraímos 3 vezes a Equação (1):
Agora, temos uma expressão para w. Vamos analisar o denominador m^2 -2m. Se esse denominador for zero, teremos um problema, pois não podemos dividir por zero. Então:
m^2 -2m = 0 Rightarrow m(m -2) = 0
Isso nos dá duas soluções para m:
m = 0 ou m = 2
Esses são os valores críticos onde a solução pode mudar de status (SI, SPD, SPI).
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
Quando [m \neq 0) e :
O denominador , então podemos encontrar de forma única.
Assim, teremos valores únicos para , , e , resultando em uma única solução (SPD).
Quando :
Substituindo na expressão para :
Isso indica que não há solução para esse valor de , ou seja, o sistema é impossível (SI).
Quando :
Substituindo na expressão para :
Isso sugere que podemos ter infinitas soluções (SPI) ou nenhuma, dependendo das outras equações.
Vamos verificar substituindo nas Equações originais:
Aplicando a eliminação novamente, vemos que as equações são dependentes, permitindo múltiplas soluções. Portanto, para (m = 2], o sistema é possível indeterminado (SPI).
Resposta
Para o sistema dado:
Para m neq 0 e m neq 2: O sistema tem uma única solução (SPD).
Para m = 0: O sistema é impossível (SI), ou seja, não possui soluções.
Para m = 2: O sistema é possível indeterminado (SPI), tendo infinitas soluções.