Considere o sistema linear: lx+y+z+4 w=-3 3 x+y+z+2 w=1 2 x+2 y+3 z+10 w=m-6 -x-y+(-m-1) z+(m^2-4 m-4) w=-1.
Discuta-o em função do parâmetro m, isto é, determine para quais valores de m o sistema é impossível (SI), possível determinado (SPD) ou possível indeterminado (SPI). No caso do sistema admitir solução, não esqueça de determinar qual (ou quais) é (ou são) ela(s) de acordo com o valor de m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe trata de um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas: x, y, z e w. A ideia é analisar como o parâmetro m afeta as soluções desse sistema. Precisamos descobrir para quais valores de m o sistema não tem solução (SI), tem uma única solução (SPD) ou tem infinitas soluções (SPI). Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss para simplificar o sistema e ver o que acontece conforme mudamos m.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações:
x + y + z + 4w = -3 (1) 3x + y + z + 2w = 1 (2) 2x + 2y + 3z + 10w = m - 6 (3) - x - y + (-m -1)z + (m^2 -4m -4)w = -1 (4)
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema para facilitar a nossa análise:
1 & 1 & 1 & 4 & | & -3 3 & 1 & 1 & 2 & | & 1 2 & 2 & 3 & 10 & | & m - 6 -1 & -1 & -m -1 & m^2 -4m -4 & | & -1

Passo 3

Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde conseguimos identificar facilmente condições para m.
Primeiro, vamos usar a Equação (1) para eliminar x das Equações (2), (3) e (4).
  • Para a Equação (2): Subtraímos 3 vezes a Equação (1):
(2) - 3 times (1) Rightarrow (3-3)x + (1-3)y + (1-3)z + (2-12)w = 1 - (-9) Rightarrow 0x -2y -2z -10w = 10
  • Para a Equação (3): Subtraímos 2 vezes a Equação (1):
(3) - 2 times (1) Rightarrow (2-2)x + (2-2)y + (3-2)z + (10-8)w = (m-6) - (-6) Rightarrow 0x + 0y + z + 2w = m
  • Para a Equação (4): Somamos a Equação (1):
(4) + (1) Rightarrow (-1+1)x + (-1+1)y + (-m -1 +1)z + (m^2 -4m -4 +4)w = -1 + (-3) Rightarrow 0x + 0y -mz + (m^2 -4m)w = -4
Agora, nossa matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & 4 & | & -3 0 & -2 & -2 & -10 & | & 10 0 & 0 & 1 & 2 & | & m 0 & 0 & -m & m^2 -4m & | & -4

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais. Observe que a Equação (3) já está resolvida para z:
z + 2w = m Rightarrow z = m - 2w (5)
Agora, usamos essa expressão para substituir z na Equação (4):
-mz + (m^2 -4m)w = -4 Rightarrow -m(m - 2w) + (m^2 -4m)w = -4 Rightarrow -m^2 + 2mw + m^2w -4mw = -4
Simplificando:
(-m^2) + (2m -4m + m^2)w = -4 Rightarrow -m^2 + (m^2 -2m)w = -4
Vamos isolar w:
(m^2 -2m)w = m^2 -4 Rightarrow w = m^2 -4m^2 -2m

Passo 5

Agora, temos uma expressão para w. Vamos analisar o denominador m^2 -2m. Se esse denominador for zero, teremos um problema, pois não podemos dividir por zero. Então:
m^2 -2m = 0 Rightarrow m(m -2) = 0
Isso nos dá duas soluções para m:
m = 0 ou m = 2
Esses são os valores críticos onde a solução pode mudar de status (SI, SPD, SPI).

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
  1. Quando [m \neq 0) e :
    • O denominador , então podemos encontrar de forma única.
    • Assim, teremos valores únicos para , , e , resultando em uma única solução (SPD).
  2. Quando :
    • Substituindo na expressão para :
  • Isso indica que não há solução para esse valor de , ou seja, o sistema é impossível (SI).
  1. Quando :
    • Substituindo na expressão para :
  • Isso sugere que podemos ter infinitas soluções (SPI) ou nenhuma, dependendo das outras equações.
  • Vamos verificar substituindo nas Equações originais:
  • Aplicando a eliminação novamente, vemos que as equações são dependentes, permitindo múltiplas soluções. Portanto, para (m = 2], o sistema é possível indeterminado (SPI).

Resposta

Para o sistema dado:
  • Para m neq 0 e m neq 2: O sistema tem uma única solução (SPD).
  • Para m = 0: O sistema é impossível (SI), ou seja, não possui soluções.
  • Para m = 2: O sistema é possível indeterminado (SPI), tendo infinitas soluções.

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