Considere a matriz
D=[llll 1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 & 1 3 & 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 & 3 ]
A inversa da Matriz A, caso exista. UTILIZE o método de inversão pelas operações elementares.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. Temos uma matriz D e queremos encontrar a sua inversa, ou seja, uma matriz que, quando multiplicada por D , resulte na matriz identidade. Para isso, vamos usar o método de inversão pelas operações elementares. Isso envolve realizar uma série de operações nas linhas da matriz até transformar D na identidade, aplicando as mesmas operações na matriz identidade para obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, montamos uma matriz aumentada com D do lado esquerdo e a matriz identidade do lado direito. Assim:
[cccc|cccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 3 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Isso nos dá uma base para começar as operações e, eventualmente, isolar a matriz identidade à esquerda.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar o primeiro elemento da primeira coluna em 1 (já está feito) e, em seguida, zerar os elementos abaixo dele. Olhando para a primeira coluna, já temos um 1 na posição (1,1). Agora, vamos eliminar os 2, 3 e 1 abaixo desse 1.
Para zerar o 2 na posição (2,1), fazemos: Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
[cccc|cccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 3 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3 na posição (3,1): Linha 3 = Linha 3 - 3 * Linha 1
[cccc|cccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & -2 & -1 & -3 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, eliminamos o 1 na posição (4,1): Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
[cccc|cccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & -2 & -1 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1 (já está) e eliminar os elementos acima e abaixo dele. Primeiro, eliminamos o 1 na posição (1,2): Linha 1 = Linha 1 - Linha 2
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & -2 & -1 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 7

Em seguida, eliminamos o -2 na posição (3,2): Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & -3 & -7 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 8

Também eliminamos o 1 na posição (4,2): Linha 4 = Linha 4 - Linha 2
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & -3 & -7 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 9

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos que o elemento (3,3) seja 1. Atualmente, está -2. Então, multiplicamos a Linha 3 por -1/2:
Linha 3 = (-1/2) * Linha 3
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 32 & 72 & -1 & -12 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 10

Com o 1 na posição (3,3), vamos eliminar os 1 na posição (1,3): Linha 1 = Linha 1 - Linha 3
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 12 & -12 & 0 & 12 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 32 & 72 & -1 & -12 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 11

Agora, vamos para a quarta coluna. Queremos que o elemento (4,4) seja 1. Atualmente, está 3. Então, dividimos a Linha 4 por 3:
Linha 4 = (1/3) * Linha 4
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 12 & -12 & 0 & 12 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 32 & 72 & -1 & -12 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 13 & -13 & 0 & 13 ]

Passo 12

Agora, eliminamos os elementos acima do 1 na posição (4,4). Primeiro, na Linha 1: Linha 1 = Linha 1 - (1/2) * Linha 4
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & -23 & 16 & 12 & -16 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 32 & 72 & -1 & -12 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 13 & -13 & 0 & 13 ]

Passo 13

Na Linha 2: Linha 2 = Linha 2 + Linha 4
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & -23 & 16 & 12 & -16 0 & 1 & 0 & 0 & -53 & 23 & 0 & 13 0 & 0 & 1 & 32 & 72 & -1 & -12 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 13 & -13 & 0 & 13 ]

Passo 14

Na Linha 3: Linha 3 = Linha 3 - (3/2) * Linha 4
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & -23 & 16 & 12 & -16 0 & 1 & 0 & 0 & -53 & 23 & 0 & 13 0 & 0 & 1 & 0 & 53 & -13 & -12 & -12 0 & 0 & 0 & 1 & 13 & -13 & 0 & 13 ]

Passo 15

Agora, a matriz à esquerda é a identidade, então a matriz à direita é a inversa de D . Assim, temos:
D^-1 = [cccc -23 & 16 & 12 & -16 -53 & 23 & 0 & 13 53 & -13 & -12 & -12 13 & -13 & 0 & 13 ]

Resposta

A inversa da matriz D é:
D^-1 = [cccc -23 & 16 & 12 & -16 -53 & 23 & 0 & 13 53 & -13 & -12 & -12 13 & -13 & 0 & 13 ]

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