Considere duas transformações,
e
:
Com relação as transformações acima resolva os problemas abaixo :
Verificar que
não é uma transformação linear usando o teorema.
Verificar que
Passo 1
Beleza, vamos ver aqui o que a pergunta está pedindo. A gente tem duas transformações, T e S. Mas a questão quer que a gente verifique se a transformação S não é linear usando um teorema. Vamos precisar saber o que é uma transformação linear e quais são as condições que ela precisa cumprir para ser considerada assim.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas para todos os vetores
e
e para todo escalar
:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Então, para mostrar que S não é linear, a gente pode encontrar um exemplo onde pelo menos uma dessas propriedades não é satisfeita.
Passo 3
Vamos analisar a transformação
. Ela é definida por:
Olha só, o primeiro componente é o valor absoluto de x, e o segundo é -y. Vamos ver se isso cumpre as propriedades de linearidade.
Passo 4
Primeiro, vamos testar a propriedade da adição vetorial. Pegue dois vetores, por exemplo,
e
.
Calculando
:
Então,
Agora, calculando
:
Somando:
Passo 5
Compare agora os resultados:
Viu só?
não é igual a
. Isso significa que a transformação
não satisfaz a propriedade da adição vetorial.
Resposta
Como a transformação
não cumpre a propriedade da adição vetorial, podemos concluir que
não é uma transformação linear.