Considere duas transformações, T e S :
& T: R^2 longrightarrow R^3 & com I) T(-2,3)=(-1,0,1) e II) T(1,-2)=(0,-1,0) & S: R^2 longrightarrow R^2 & (x, y) longmapsto(|x|,-y)
Com relação as transformações acima resolva os problemas abaixo :
Verificar que S não é uma transformação linear usando o teorema.

Passo 1

Beleza, vamos ver aqui o que a pergunta está pedindo. A gente tem duas transformações, T e S. Mas a questão quer que a gente verifique se a transformação S não é linear usando um teorema. Vamos precisar saber o que é uma transformação linear e quais são as condições que ela precisa cumprir para ser considerada assim.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação S é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas para todos os vetores u e v e para todo escalar c :
  1. Adição Vetorial: S(u + v) = S(u) + S(v)
  2. Multiplicação por Escalar: S(cu) = cS(u)
Então, para mostrar que S não é linear, a gente pode encontrar um exemplo onde pelo menos uma dessas propriedades não é satisfeita.

Passo 3

Vamos analisar a transformação S . Ela é definida por:
S(x, y) = (|x|, -y)
Olha só, o primeiro componente é o valor absoluto de x, e o segundo é -y. Vamos ver se isso cumpre as propriedades de linearidade.

Passo 4

Primeiro, vamos testar a propriedade da adição vetorial. Pegue dois vetores, por exemplo, u = (1, 1) e v = (-1, 1) .
Calculando S(u + v) :
u + v = (1 + (-1), 1 + 1) = (0, 2)
Então,
S(0, 2) = (|0|, -2) = (0, -2)
Agora, calculando S(u) + S(v) :
S(1, 1) = (|1|, -1) = (1, -1)
S(-1, 1) = (|-1|, -1) = (1, -1)
Somando:
(1, -1) + (1, -1) = (2, -2)

Passo 5

Compare agora os resultados:
S(u + v) = (0, -2) S(u) + S(v) = (2, -2)
Viu só? (0, -2) não é igual a (2, -2) . Isso significa que a transformação S não satisfaz a propriedade da adição vetorial.

Resposta

Como a transformação S não cumpre a propriedade da adição vetorial, podemos concluir que S não é uma transformação linear.

Exercícios relacionados