Sobre o operador linear T: R^2 R^2, tal que
T(1,0)=(3,-2) eT(0,1)=(1,4)
Determine T(x, y)

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^2toR^2 e informa as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0) = (3,-2), T(0,1) = (1,4)
O conteúdo aqui é representação de um operador linear pela ação sobre uma base e uso da linearidade para estender a qualquer (x,y).

Passo 2

Qualquer vetor (x,y)inR^2 pode ser escrito como combinação linear da base canônica:
(x,y) = x,(1,0) + y,(0,1)

Passo 3

Pela linearidade de T, tem-se
T(x,y) = Tl(x,(1,0) + y,(0,1)r) = x,T(1,0) + y,T(0,1)
Substituindo os valores conhecidos:
x,T(1,0) + y,T(0,1) = x,(3,-2) + y,(1,4)

Passo 4

Efetuando a soma de vetores:
x,(3,-2) + y,(1,4) = (3x, -2x) + (y, 4y) = (3x + y,;-2x + 4y)

Resposta

T(x,y) = l(3x + y,,-2x + 4yr)

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