Com relação as transformaçōes acirna resolva os probiemas abaixo :
Calcular o núcleo de :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta quer que a gente calcule o núcleo da transformação linear . O núcleo, ou , é basicamente o conjunto de todos os vetores que, quando passados pela transformação , resultam no vetor zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformação está definida e usar as propriedades das transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, vai de para , então a matriz associada será de tamanho . A gente tem três imagens dadas:
Vamos usar essas informações para montar o sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar a matriz de .
Passo 3
Vamos supor que a matriz de seja:
Quando multiplicamos essa matriz por um vetor (x, y, z) , obtemos:
T(x, y, z) = a x + b y + c z d x + e y + f z
Passo 4
Agora, vamos aplicar as imagens dadas para montar um sistema de equações:
Para [\mathbf{T}(1,1,1) = (1,2)):
Simplificando:
Para (\mathbf{T}(1,1,0) = (2,3)]:
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver o sistema para encontrar os valores de a, b, c, d, e, f :
Da terceira equação, já sabemos que a = 3 e d = 4 .
Substituindo a = 3 na segunda equação do primeiro par:
3 + b = 2 Rightarrow b = 2 - 3 Rightarrow b = -1
Substituindo d = 4 na segunda equação do segundo par:
4 + e = 3 Rightarrow e = 3 - 4 Rightarrow e = -1
Agora, usando a + b + c = 1 :
3 + (-1) + c = 1 Rightarrow 2 + c = 1 Rightarrow c = -1
Por último, usando d + e + f = 2 :
4 + (-1) + f = 2 Rightarrow 3 + f = 2 Rightarrow f = -1
Passo 6
Agora que encontramos todos os coeficientes, a matriz de T é:
T = 3 & -1 & -1 4 & -1 & -1
Passo 7
Para encontrar o núcleo de T , queremos todos os vetores (x, y, z) em R^3 que satisfazem:
T(x, y, z) = 0
Ou seja:
3 & -1 & -1 4 & -1 & -1 x y z = 0 0
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
3x - y - z = 0 4x - y - z = 0
Passo 8
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4x - y - z) - (3x - y - z) = 0 - 0 Rightarrow x = 0
Agora, substituímos x = 0 na primeira equação:
3(0) - y - z = 0 Rightarrow -y - z = 0 Rightarrow y = -z
Passo 9
Então, os vetores no núcleo de T são aqueles onde x = 0 e y = -z . Podemos escrever isso como:
Nuc(T) = 0 -z z ,g|, z in R
Ou, de forma mais simplificada:
Nuc(T) = z 0 -1 1 ,g|, z in R
Resposta
O núcleo da transformação T é o conjunto de todos os vetores da forma z 0 -1 1 , onde z é um número real. Ou seja,