Considere duas transformações, T e S :
T: R^3 longrightarrow R^2
linear com: I) T(1,1,1)=(1,2), II) T(1,1,0)=(2,3) , III) T(1,0,0)=(3,4)
llc S: c R^3 (x, y, z) & longrightarrow & R^3 & x, y,|z|)
Com relação as transformaçōes acirna resolva os probiemas abaixo :
Calcular o núcleo de T: Nuc(T):

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta quer que a gente calcule o núcleo da transformação linear T . O núcleo, ou Nuc(T) , é basicamente o conjunto de todos os vetores que, quando passados pela transformação T , resultam no vetor zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformação T está definida e usar as propriedades das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, T vai de R^3 para R^2 , então a matriz associada será de tamanho 2 times 3 . A gente tem três imagens dadas:
  1. T(1,1,1) = (1,2)
  2. T(1,1,0) = (2,3)
  3. T(1,0,0) = (3,4)
Vamos usar essas informações para montar o sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar a matriz de T .

Passo 3

Vamos supor que a matriz de T seja:
T = a & b & c d & e & f
Quando multiplicamos essa matriz por um vetor (x, y, z) , obtemos:
T(x, y, z) = a x + b y + c z d x + e y + f z

Passo 4

Agora, vamos aplicar as imagens dadas para montar um sistema de equações:
  1. Para [\mathbf{T}(1,1,1) = (1,2)):
Simplificando:
  1. Para (\mathbf{T}(1,1,0) = (2,3)]:
Simplificando:
  1. Para :
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver o sistema para encontrar os valores de a, b, c, d, e, f :
  • Da terceira equação, já sabemos que a = 3 e d = 4 .
  • Substituindo a = 3 na segunda equação do primeiro par:
3 + b = 2 Rightarrow b = 2 - 3 Rightarrow b = -1
  • Substituindo d = 4 na segunda equação do segundo par:
4 + e = 3 Rightarrow e = 3 - 4 Rightarrow e = -1
  • Agora, usando a + b + c = 1 :
3 + (-1) + c = 1 Rightarrow 2 + c = 1 Rightarrow c = -1
  • Por último, usando d + e + f = 2 :
4 + (-1) + f = 2 Rightarrow 3 + f = 2 Rightarrow f = -1

Passo 6

Agora que encontramos todos os coeficientes, a matriz de T é:
T = 3 & -1 & -1 4 & -1 & -1

Passo 7

Para encontrar o núcleo de T , queremos todos os vetores (x, y, z) em R^3 que satisfazem:
T(x, y, z) = 0
Ou seja:
3 & -1 & -1 4 & -1 & -1 x y z = 0 0
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
3x - y - z = 0 4x - y - z = 0

Passo 8

Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4x - y - z) - (3x - y - z) = 0 - 0 Rightarrow x = 0
Agora, substituímos x = 0 na primeira equação:
3(0) - y - z = 0 Rightarrow -y - z = 0 Rightarrow y = -z

Passo 9

Então, os vetores no núcleo de T são aqueles onde x = 0 e y = -z . Podemos escrever isso como:
Nuc(T) = 0 -z z ,g|, z in R
Ou, de forma mais simplificada:
Nuc(T) = z 0 -1 1 ,g|, z in R

Resposta

O núcleo da transformação T é o conjunto de todos os vetores da forma z 0 -1 1 , onde z é um número real. Ou seja,
Nuc(T) = z 0 -1 1 ,g|, z in R

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