Verifique se cada uma das matrizes abaixo é ou não diagonalizável. Quando for diagonalizável, determine uma matriz invertível M tal que M^-1 A M seja uma matriz diagonal.
[ccc1 & 2 & 0 -1 & -1 & 1 0 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 2 & 0 -1 & -1 & 1 0 & 1 & 1
é diagonalizável.
Para isso, precisamos achar o polinômio característico de A, seus autovalores e os espaços próprios correspondentes. Uma matriz 3times3 é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos espaços próprios for igual a 3, isto é, se existir um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I).
det(A-lambda I) = (1-lambda)l(( -1-lambda)(1-lambda)-1r) -2l((-1)(1-lambda)r) = (1-lambda)(lambda^2-2)+2(1-lambda) = (1-lambda)lambda^2

Passo 3

Dos fatores de (1-lambda)lambda^2=0 tiramos os autovalores:
lambda1 = 1(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2 = 0(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Agora achamos os espaços próprios.
Para
que dá . Um gerador é
Logo .
Para , resolvemos , ou
que leva a . Um gerador é
Logo , embora a multiplicidade algébrica de seja .

Passo 5

A soma das dimensões dos espaços próprios é
dim E1 + dim E0 = 1 + 1 = 2 < 3
Como não conseguimos 3 autovetores independentes, a matriz A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável, pois o autovalor lambda=0 tem multiplicidade algébrica 2 mas multiplicidade geométrica 1.

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