Considere duas transformações, T e S :
T: R^3 longrightarrow R^2
linear com: I) T(1,1,1)=(1,2), II) T(1,1,0)=(2,3) , III) T(1,0,0)=(3,4)
llc S: c R^3 (x, y, z) & longrightarrow & R^3 & x, y,|z|)
Com relação as transformaçōes acirna resolva os probiemas abaixo :
Verificar se T é injetiva .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T que vai de R^3 para R^2 . Queremos verificar se essa transformação é injetiva. Isso significa que queremos saber se vetores diferentes em R^3 são mapeados para vetores diferentes em R^2 pela transformação T . Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformação T está definida e usar conceitos de álgebra linear sobre injeção.

Passo 2

Como T é uma transformação linear, podemos representá-la por uma matriz. Sabemos que:
T(1,1,1) = (1,2)
T(1,1,0) = (2,3)
T(1,0,0) = (3,4)
Vamos chamar a matriz de T de:
T = a & b & c d & e & f
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b, c, d, e, f usando as informações dadas.

Passo 3

Primeiro, aplicamos T ao vetor (1,1,1) :
T(1,1,1) = a & b & c d & e & f 1 1 1 = a + b + c d + e + f = 1 2
Isso nos dá as equações:
a + b + c = 1
d + e + f = 2

Passo 4

Agora, aplicamos T ao vetor (1,1,0) :
T(1,1,0) = a & b & c d & e & f 1 1 0 = a + b d + e = 2 3
Isso nos dá mais duas equações:
a + b = 2
d + e = 3

Passo 5

Por último, aplicamos T ao vetor (1,0,0) :
T(1,0,0) = a & b & c d & e & f 1 0 0 = a d = 3 4
Isso nos dá:
a = 3
d = 4

Passo 6

Agora, podemos resolver as equações que temos:
Sabemos que a = 3 , então da equação a + b = 2 :
3 + b = 2 Rightarrow b = -1
Da equação d + e = 3 :
4 + e = 3 Rightarrow e = -1
Finalmente, da equação a + b + c = 1 :
3 + (-1) + c = 1 Rightarrow c = -1
E da equação d + e + f = 2 :
4 + (-1) + f = 2 Rightarrow f = -1

Passo 7

Agora, temos a matriz de T :
T = 3 & -1 & -1 4 & -1 & -1

Passo 8

Para verificar se T é injetiva, precisamos ver se o núcleo de T contém apenas o vetor zero. O núcleo é o conjunto de vetores x em R^3 tal que T(x) = 0 .
Vamos resolver Tx = 0 :
3 & -1 & -1 4 & -1 & -1 x y z = 0 0
Isso nos dá o sistema de equações:
3x - y - z = 0 4x - y - z = 0

Passo 9

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4x - y - z) - (3x - y - z) = 0 - 0 x = 0
Substituindo x = 0 na primeira equação:
0 - y - z = 0 Rightarrow y + z = 0 Rightarrow y = -z
Portanto, os vetores no núcleo têm a forma (0, -z, z) , onde z pode ser qualquer número real.

Passo 10

Como o núcleo de T contém mais vetores além do vetor zero (por exemplo, (0, -1, 1) ), a transformação T não é injetiva.

Resposta

A transformação T não é injetiva.

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