Com relação as transformaçōes acirna resolva os probiemas abaixo :
Verificar se é injetiva .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que vai de para . Queremos verificar se essa transformação é injetiva. Isso significa que queremos saber se vetores diferentes em são mapeados para vetores diferentes em pela transformação . Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformação está definida e usar conceitos de álgebra linear sobre injeção.
Passo 2
Como é uma transformação linear, podemos representá-la por uma matriz. Sabemos que:
Vamos chamar a matriz de de:
Nosso objetivo é encontrar os valores de usando as informações dadas.
Passo 3
Primeiro, aplicamos ao vetor :
Isso nos dá as equações:
a + b + c = 1
d + e + f = 2
Passo 4
Agora, aplicamos T ao vetor (1,1,0) :
T(1,1,0) = a & b & c d & e & f 1 1 0 = a + b d + e = 2 3
Isso nos dá mais duas equações:
a + b = 2
d + e = 3
Passo 5
Por último, aplicamos T ao vetor (1,0,0) :
T(1,0,0) = a & b & c d & e & f 1 0 0 = a d = 3 4
Isso nos dá:
a = 3
d = 4
Passo 6
Agora, podemos resolver as equações que temos:
Sabemos que a = 3 , então da equação a + b = 2 :
3 + b = 2 Rightarrow b = -1
Da equação d + e = 3 :
4 + e = 3 Rightarrow e = -1
Finalmente, da equação a + b + c = 1 :
3 + (-1) + c = 1 Rightarrow c = -1
E da equação d + e + f = 2 :
4 + (-1) + f = 2 Rightarrow f = -1
Passo 7
Agora, temos a matriz de T :
T = 3 & -1 & -1 4 & -1 & -1
Passo 8
Para verificar se T é injetiva, precisamos ver se o núcleo de T contém apenas o vetor zero. O núcleo é o conjunto de vetores x em R^3 tal que T(x) = 0 .
Vamos resolver Tx = 0 :
3 & -1 & -1 4 & -1 & -1 x y z = 0 0
Isso nos dá o sistema de equações:
3x - y - z = 0 4x - y - z = 0
Passo 9
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4x - y - z) - (3x - y - z) = 0 - 0 x = 0
Substituindo x = 0 na primeira equação:
0 - y - z = 0 Rightarrow y + z = 0 Rightarrow y = -z
Portanto, os vetores no núcleo têm a forma (0, -z, z) , onde z pode ser qualquer número real.
Passo 10
Como o núcleo de T contém mais vetores além do vetor zero (por exemplo, (0, -1, 1) ), a transformação T não é injetiva.