Seja
um operador linear com polinômio característico
. Verifique se
é diagonalizável em cada um dos seguintes casos:
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
é linear com polinômio característico
Logo os autovalores são
e
, cada um com multiplicidade algébrica igual a
. Para
ser diagonalizável, é preciso que, para cada autovalor
, a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço
) seja igual à multiplicidade algébrica.
Passo 2
Autovalor
:
a multiplicidade algébrica é e o enunciado afirma que
a multiplicidade algébrica é
Portanto, a multiplicidade geométrica em
coincide com a algébrica.
Passo 3
Autovalor
:
a multiplicidade algébrica também é , mas não temos informação direta sobre
. Seja
a multiplicidade algébrica também é
sabemos apenas que
.
Passo 4
Critério de diagonalização:
é diagonalizável se e somente se, para todo autovalor
,
Já vimos que isso vale para
. Para
precisamos de
Passo 5
Conclusão:
será diagonalizável exatamente quando
Com a informação dada (
), não podemos afirmar por si só que
; portanto, só sabemos que
– se
, então
é diagonalizável;
– se , então
não é diagonalizável.
– se