Seja T: R^4 R^4 um operador linear com polinômio característico pT(t). Verifique se T é diagonalizável em cada um dos seguintes casos:
pT(t)=t^2(t-2)^2 e dim(Ker(T))=2.

Passo 1

O enunciado diz que T:R^4toR^4 é linear com polinômio característico
pT(t)=t^2(t-2)^2
Logo os autovalores são lambda=0 e lambda=2, cada um com multiplicidade algébrica igual a 2. Para T ser diagonalizável, é preciso que, para cada autovalor lambda, a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço ker(T-lambda I)) seja igual à multiplicidade algébrica.

Passo 2

Autovalor lambda=0:
a multiplicidade algébrica é 2 e o enunciado afirma que
diml(ker(T)r)=2
Portanto, a multiplicidade geométrica em lambda=0 coincide com a algébrica.

Passo 3

Autovalor lambda=2:
a multiplicidade algébrica também é 2, mas não temos informação direta sobre
diml(ker(T-2I)r). Seja
g2=diml(ker(T-2I)r),
sabemos apenas que 1<= g2<=2.

Passo 4

Critério de diagonalização:
T é diagonalizável se e somente se, para todo autovalor lambda,
(mu<iplicidade >=ométrica em (lambda)) =(mu<iplicidade algébrica em (lambda)) éé
Já vimos que isso vale para lambda=0. Para lambda=2 precisamos de
g2 ;=;2

Passo 5

Conclusão:
T será diagonalizável exatamente quando
diml(ker(T-2I)r)=2
Com a informação dada ( dimker T=2), não podemos afirmar por si só que g2=2; portanto, sabemos que
– se dimker(T-2I)=2, então T é diagonalizável;
– se dimker(T-2I)=1, então T não é diagonalizável.

Resposta

T é diagonalizável se, e somente se,
diml(ker(T-2I)r)=2

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