Com relação as transformaçōes acirna resolva os probiemas abaixo :
Determinar uma base para e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de transformações lineares! O problema pede para determinar uma base para o Núcleo (Nuc) e para a Imagem (Im) da transformação linear . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, transformações lineares e como encontrar bases para subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Núcleo e a Imagem de uma transformação linear. O Núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero em . Já a Imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que são imagens de algum vetor em através de .
Passo 3
Vamos começar encontrando uma expressão geral para . Sabemos que é linear, então podemos escrever:
No entanto, ainda não temos todas as imagens básicas, mas podemos usar as informações dadas para encontrar uma matriz que representa .
Passo 4
Vamos montar um sistema de equações usando as três condições dadas:
Assumindo que , podemos escrever:
Passo 5
Resolvendo as equações:
Da terceira equação, a + b = 2 . Sabemos que a = 3 , então:
3 + b = 2 Rightarrow b = -1
Da segunda equação, d + e + f = 2 . Sabemos que d = 4 , então:
4 + e + f = 2 Rightarrow e + f = -2
Da quarta equação, d + e = 3 . Sabemos que d = 4 , então:
4 + e = 3 Rightarrow e = -1
Substituindo e = -1 na equação e + f = -2 :
-1 + f = -2 Rightarrow f = -1
Da primeira equação, a + b + c = 1 :
3 + (-1) + c = 1 Rightarrow c = -1
Passo 6
Agora temos os coeficientes da matriz de T :
T(x, y, z) = ( 3x - y - z, 4x - y - z )
Então, a matriz associada a T é:
T = 3 & -1 & -1 4 & -1 & -1
Passo 7
Vamos encontrar o Núcleo de [\mathbf{T}), ou seja, resolver :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo (x = 0] na primeira equação:
Então, os vetores no Núcleo têm a forma:
Passo 8
Portanto, uma base para o Núcleo de T é:
0 -1 1
Passo 9
Agora, vamos encontrar a Imagem de T . Como a matriz de T é 2 times 3 e as linhas são (3, -1, -1) e (4, -1, -1) , vamos verificar a independência linear dessas linhas.
Observamos que a segunda linha é a primeira linha mais 1x . Contudo:
4 = 3 + 1 mas -1 = -1 e -1 = -1
Na verdade, a segunda linha não é múltiplo da primeira, então as linhas são linearmente independentes.
Passo 10
Como as duas linhas da matriz de T são linearmente independentes, a Imagem de T é gerada por esses dois vetores:
Im(T) = span 3 4 , -1 -1
Então, uma base para a Imagem de T é:
3 4 , -1 -1
Resposta
Uma base para o Núcleo de T é 0 -1 1 e uma base para a Imagem de T é 3 4 , -1 -1 .