Considere duas transformações, T e S :
T: R^3 longrightarrow R^2
linear com: I) T(1,1,1)=(1,2), II) T(1,1,0)=(2,3) , III) T(1,0,0)=(3,4)
llc S: c R^3 (x, y, z) & longrightarrow & R^3 & x, y,|z|)
Com relação as transformaçōes acirna resolva os probiemas abaixo :
Determinar uma base para Nuc(T) e I m(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de transformações lineares! O problema pede para determinar uma base para o Núcleo (Nuc) e para a Imagem (Im) da transformação linear T . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, transformações lineares e como encontrar bases para subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Núcleo e a Imagem de uma transformação linear. O Núcleo de T , denotado por Nuc(T) , é o conjunto de todos os vetores v em R^3 que são enviados para o vetor zero em R^2 . Já a Imagem de T , Im(T) , é o conjunto de todos os vetores em R^2 que são imagens de algum vetor em R^3 através de T .

Passo 3

Vamos começar encontrando uma expressão geral para T(x, y, z) . Sabemos que T é linear, então podemos escrever:
T(x, y, z) = x cdot T(1, 0, 0) + y cdot T(0, 1, 0) + z cdot T(0, 0, 1)
No entanto, ainda não temos todas as imagens básicas, mas podemos usar as informações dadas para encontrar uma matriz que representa T .

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações usando as três condições dadas:
  1. T(1,1,1) = (1,2)
  2. T(1,1,0) = (2,3)
  3. T(1,0,0) = (3,4)
Assumindo que T(x,y,z) = (a x + b y + c z, d x + e y + f z) , podemos escrever:
a + b + c = 1 d + e + f = 2 a + b = 2 d + e = 3 a = 3 d = 4

Passo 5

Resolvendo as equações:
Da terceira equação, a + b = 2 . Sabemos que a = 3 , então:
3 + b = 2 Rightarrow b = -1
Da segunda equação, d + e + f = 2 . Sabemos que d = 4 , então:
4 + e + f = 2 Rightarrow e + f = -2
Da quarta equação, d + e = 3 . Sabemos que d = 4 , então:
4 + e = 3 Rightarrow e = -1
Substituindo e = -1 na equação e + f = -2 :
-1 + f = -2 Rightarrow f = -1
Da primeira equação, a + b + c = 1 :
3 + (-1) + c = 1 Rightarrow c = -1

Passo 6

Agora temos os coeficientes da matriz de T :
T(x, y, z) = ( 3x - y - z, 4x - y - z )
Então, a matriz associada a T é:
T = 3 & -1 & -1 4 & -1 & -1

Passo 7

Vamos encontrar o Núcleo de [\mathbf{T}), ou seja, resolver :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo (x = 0] na primeira equação:
Então, os vetores no Núcleo têm a forma:

Passo 8

Portanto, uma base para o Núcleo de T é:
0 -1 1

Passo 9

Agora, vamos encontrar a Imagem de T . Como a matriz de T é 2 times 3 e as linhas são (3, -1, -1) e (4, -1, -1) , vamos verificar a independência linear dessas linhas.
Observamos que a segunda linha é a primeira linha mais 1x . Contudo:
4 = 3 + 1 mas -1 = -1 e -1 = -1
Na verdade, a segunda linha não é múltiplo da primeira, então as linhas são linearmente independentes.

Passo 10

Como as duas linhas da matriz de T são linearmente independentes, a Imagem de T é gerada por esses dois vetores:
Im(T) = span 3 4 , -1 -1
Então, uma base para a Imagem de T é:
3 4 , -1 -1

Resposta

Uma base para o Núcleo de T é 0 -1 1 e uma base para a Imagem de T é 3 4 , -1 -1 .

Exercícios relacionados