O tempo de vida, em horas, de um chip de um computador é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)= \begin{cases}k / x^{2} & x>100 \\\\ 0 & x \leq 100\end{cases}
a) Qual o valor de k ?
b) Qual a probabilidade de um chip durar mais que t horas?
c) Qual a probabilidade de exatamente dois de cinco chips do aparelho tenham que ser trocadas nas primeiras 150 horas de operação? Suponha que os eventos em que o chip c tem que ser substituído dentro desse intervalo sejam mutuamente independentes.

Passo 1

O enunciado e o que se pede (vou listar exatamente as informações e as perguntas dadas pelo problema):
  • A função densidade de probabilidade da vida X\) (em horas) de um chip é \[f(x)= \begin{cases}\dfrac{k}{x^{2}} & x>100 \\[4pt] 0 & x\le 100\end{cases}
  • Perguntas:
    1. Qual o valor de k\]? 2. Qual a probabilidade de um chip durar mais que \(t horas, ou seja P(X>t) (expressar para os casos relevantes de t)?
      3. Supondo independência entre chips, qual a probabilidade de exatamente dois dentre 5 chips terem que ser trocados nas primeiras 150 horas (isto é, falharem até 150 horas)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade existe apenas para x>100 (todo o suporte da distribuição está à direita de 100).
  • Deve-se determinar a constante de normalização k e usar a densidade para calcular probabilidades e, depois, usar o modelo binomial para a parte dos 5 chips.]

Passo 2

Normalização da densidade — como encontrar k.
Explicando a ideia: uma função densidade de probabilidade f(x) precisa satisfazer a condição
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1,
porque a probabilidade total de todos os possíveis valores de X deve ser 1.
Aqui f(x)=0 para x\le100, logo a integral só ocorre em [100,\infty). Escrevendo a condição:
\int_{100}^{\infty} \frac{k}{x^{2}}\,dx = 1.
Agora calcule a integral. Lembre que a primitiva de x^{-2} é -x^{-1}. Então:
\int_{100}^{\infty} \frac{k}{x^{2}}\,dx = k \int_{100}^{\infty} x^{-2}\,dx = k \left[ -\frac{1}{x} \right]_{100}^{\infty}.
Avaliação do limite:
\left[ -\frac{1}{x} \right]_{100}^{\infty} = \lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{b}\right) - \left(-\frac{1}{100}\right) = 0 + \frac{1}{100} = \frac{1}{100}.
Portanto
k \cdot \frac{1}{100} = 1 \quad\Rightarrow\quad k = 100.

Passo 3

Função de distribuição acumulada (CDF) e probabilidade de durar mais que [t) — desenvolver passo a passo.
Primeiro, vamos obter a função de distribuição acumulada F(t)=P(X\le t). Para t\le 100 a densidade é zero para x\le100, logo
F(t)=0 \quad\text{para } t\le 100.
Para t>100,
F(t)=\int_{100}^{t} \frac{100}{x^{2}}\,dx =100\left[ -\frac{1}{x} \right]_{100}^{t} =100\left(-\frac{1}{t} + \frac{1}{100}\right) =1 - \frac{100}{t}.
Agora a probabilidade pedida é a probabilidade de durar mais que t, isto é a função sobrevivência S(t)=P(X>t)=1-F(t). Assim:
  • Se t\le 100, todo o suporte está à direita de t, então
P(X>t)=1.
  • Se t>100, usando F(t)=1-\dfrac{100}{t},
P(X>t)=1-F(t)=\frac{100}{t}.
Resumo em uma expressão:
P(X>t)=\begin{cases} 1, & t\le 100,\\[4pt] \dfrac{100}{t}, & t>100. \end{cases}
Comentário didático rápido: isso mostra que as caudas da distribuição decaem como 1/t\] (porque a densidade é proporcional a \(1/x^{2}), então a probabilidade de sobreviver além de t é proporcional a 1/t.]

Passo 4

Aplicando ao caso específico t=150 para preparar a parte (c).
Como 150>100, usamos a fórmula para t>100:
P(X>150)=\frac{100}{150}=\frac{2}{3}.
Logo a probabilidade de falhar até 150 horas (isto é P(X\le150)) é
P(X\le150)=1-P(X>150)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
É útil anotar p = P(\text{falhar até }150)=\dfrac{1}{3}é para usar no modelo binomial.

Passo 5

Modelo binomial para exatamente 2 falhas entre 5 chips — explicação e cálculo.
Explicando o modelo: se temos n experimentos independentes (aqui n=5 chips) e cada um tem probabilidade p de “sucesso” (aqui “sucesso” = falhar até 150 horas), então a probabilidade de obter exatamente k sucessos é dada pela fórmula binomial
P(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k falham).
No nosso caso n= 5, k= 2 e p= 1/3. Substituindo:
P(\text{exatamente }2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)^{3}.
Calcule passo a passo:
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10,
\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}, \qquad \left(1-\frac{1}{3}\right)^{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}.
Multiplicando:
P(\text{exatamente }2)=10\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{8}{27} =10\cdot\frac{8}{243} =\frac{80}{243}.
Valor decimal aproximado (para intuição):
\frac{80}{243}\approx 0,329.
Breve interpretação: cerca de 32{,}9\% de chance de exatamente dois dos 5 chips falharem nas primeiras 150 horas, dado o modelo e a independência.

Resposta

a) [k=100)
b) P(X>t)=\begin{cases} 1, & t\le 100,\\[4pt] \dfrac{100}{t}, & t>100. \end{cases}
c) (\dfrac{80}{243}\approx 0,329]]

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