a) Qual o valor de k ?
b) Qual a probabilidade de um chip durar mais que t horas?
c) Qual a probabilidade de exatamente dois de cinco chips do aparelho tenham que ser trocadas nas primeiras 150 horas de operação? Suponha que os eventos em que o chip c tem que ser substituído dentro desse intervalo sejam mutuamente independentes.
Passo 1
O enunciado e o que se pede (vou listar exatamente as informações e as perguntas dadas pelo problema):
A função densidade de probabilidade da vida X\) (em horas) de um chip é
\[f(x)= \begin{cases}\dfrac{k}{x^{2}} & x>100 \\[4pt] 0 & x\le 100\end{cases}
Perguntas:
Qual o valor de k\]?
2. Qual a probabilidade de um chip durar mais que \(t horas, ou seja P(X>t) (expressar para os casos relevantes de t)?
3. Supondo independência entre chips, qual a probabilidade de exatamente dois dentre 5 chips terem que ser trocados nas primeiras 150 horas (isto é, falharem até 150 horas)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A densidade existe apenas para x>100 (todo o suporte da distribuição está à direita de 100).
Deve-se determinar a constante de normalização k e usar a densidade para calcular probabilidades e, depois, usar o modelo binomial para a parte dos 5 chips.]
Passo 2
Normalização da densidade — como encontrar k.
Explicando a ideia: uma função densidade de probabilidade f(x) precisa satisfazer a condição
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1,
porque a probabilidade total de todos os possíveis valores de X deve ser 1.
Aqui f(x)=0 para x\le100, logo a integral só ocorre em [100,\infty). Escrevendo a condição:
\int_{100}^{\infty} \frac{k}{x^{2}}\,dx = 1.
Agora calcule a integral. Lembre que a primitiva de x^{-2} é -x^{-1}. Então:
\int_{100}^{\infty} \frac{k}{x^{2}}\,dx = k \int_{100}^{\infty} x^{-2}\,dx = k \left[ -\frac{1}{x} \right]_{100}^{\infty}.
Comentário didático rápido: isso mostra que as caudas da distribuição decaem como 1/t\] (porque a densidade é proporcional a \(1/x^{2}), então a probabilidade de sobreviver além de t é proporcional a 1/t.]
Passo 4
Aplicando ao caso específico t=150 para preparar a parte (c).
Como 150>100, usamos a fórmula para t>100:
P(X>150)=\frac{100}{150}=\frac{2}{3}.
Logo a probabilidade de falhar até 150 horas (isto é P(X\le150)) é
P(X\le150)=1-P(X>150)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
É útil anotar p = P(\text{falhar até }150)=\dfrac{1}{3}é para usar no modelo binomial.
Passo 5
Modelo binomial para exatamente 2 falhas entre 5 chips — explicação e cálculo.
Explicando o modelo: se temos n experimentos independentes (aqui n=5 chips) e cada um tem probabilidade p de “sucesso” (aqui “sucesso” = falhar até 150 horas), então a probabilidade de obter exatamente k sucessos é dada pela fórmula binomial