Considere duas variáveis aleatórias X e Y com as seguintes funções densidade de probabilidade (f.d.p.) conjuntas fX, Y(x, y) :
fX, Y(x, y)=rk cdot x cdot y, se 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1, 0, cc
onde k é uma constante a ser determinada.
Faça o que se pede:
a) Determine o valor de k. (Sugestão: A função de densidade de probabilidade deve satisfazer a condição de que a integral dupla da função sobre o domínio da variável seja igual a 1).
b) Calcule os valores esperados E[X] e E[Y].
c) Calcule o valor esperado da soma E[X+Y].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas variáveis aleatórias, X e Y, com uma função densidade de probabilidade conjunta dada por:
fX, Y(x, y) = k cdot x cdot y & se 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1, 0 & caso contrário á
O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade contínua, especificamente sobre funções densidade de probabilidade conjunta. Para resolver isso, precisamos entender que a integral dupla da função densidade sobre todo o domínio deve ser igual a 1. Além disso, vamos usar conceitos de valor esperado para calcular $ E[X] $, $ E[Y] $ e $ E[X+Y] $.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ k $. Sabemos que a integral dupla da função densidade sobre todo o domínio deve ser 1:
k
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Vamos integrar em relação a $ x $ primeiro:
x

Passo 4

Agora, integramos o resultado em relação a $ y $:
y

Passo 5

Essa integral deve ser igual a 1:
k4 = 1
Resolvendo para $ k $:
k

Passo 6

Agora que temos o valor de $ k = 4 $, vamos calcular os valores esperados $ E[X] $ e $ E[Y] $.
O valor esperado de $ X $ é dado por:
k = 4
Substituindo $ f_{X,Y}(x, y) = 4xy $:
E[X]

Passo 7

Calculando a integral interna:
integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 12
Então:
E[X] = 4 cdot 12 integral0^1 x^2 , dx = 2 cdot [ x^33 ]0^1 = 2 cdot 13 = 23

Passo 8

Similarmente, o valor esperado de $ Y $ é:
Y
Substituindo $ f_{X,Y}(x, y) = 4xy $:
E[Y] = integral0^1 integral0^1 y cdot fX,Y(x, y) , dx , dy

Passo 9

Calculando a integral interna:
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 12
Então:
E[Y] = 4 cdot 12 integral0^1 y^2 , dy = 2 cdot [ y^33 ]0^1 = 2 cdot 13 = 23

Passo 10

Por fim, vamos calcular o valor esperado da soma $ E[X + Y] $. Sabemos que:
E[X + Y]
Então:
E[X + Y] = E[X] + E[Y]

Resposta

a) $ k = 4 $
b) $ E[X] = \frac{2}{3} $ e $ E[Y] = \frac{2}{3} $
c) $ E[X + Y] = \frac{4}{3} $

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