Considere duas variáveis aleatórias X e Y com as seguintes funções densidade de probabilidade (f.d.p.) conjuntas
:
onde
é uma constante a ser determinada.
Faça o que se pede:
a) Determine o valor de
. (Sugestão: A função de densidade de probabilidade deve satisfazer a condição de que a integral dupla da função sobre o domínio da variável seja igual a 1).
b) Calcule os valores esperados
e
.
c) Calcule o valor esperado da soma
.
onde
Faça o que se pede:
a) Determine o valor de
b) Calcule os valores esperados
c) Calcule o valor esperado da soma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas variáveis aleatórias, X e Y, com uma função densidade de probabilidade conjunta dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade contínua, especificamente sobre funções densidade de probabilidade conjunta. Para resolver isso, precisamos entender que a integral dupla da função densidade sobre todo o domínio deve ser igual a 1. Além disso, vamos usar conceitos de valor esperado para calcular $ E[X] $, $ E[Y] $ e $ E[X+Y] $.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ k $. Sabemos que a integral dupla da função densidade sobre todo o domínio deve ser 1:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Vamos integrar em relação a $ x $ primeiro:
Passo 4
Agora, integramos o resultado em relação a $ y $:
Passo 5
Essa integral deve ser igual a 1:
Resolvendo para $ k $:
Passo 6
Agora que temos o valor de $ k = 4 $, vamos calcular os valores esperados $ E[X] $ e $ E[Y] $.
O valor esperado de $ X $ é dado por:
Substituindo $ f_{X,Y}(x, y) = 4xy $:
Passo 7
Calculando a integral interna:
Então:
Passo 8
Similarmente, o valor esperado de $ Y $ é:
Substituindo $ f_{X,Y}(x, y) = 4xy $:
Passo 9
Calculando a integral interna:
Então:
Passo 10
Por fim, vamos calcular o valor esperado da soma $ E[X + Y] $. Sabemos que:
Então:
Resposta
a) $ k = 4 $
b) $ E[X] = \frac{2}{3} $ e $ E[Y] = \frac{2}{3} $
c) $ E[X + Y] = \frac{4}{3} $