(Distribuição Binomial) Um fabricante de brinquedos realiza um teste de qualidade em seus produtos. Ele verifica se 5 brinquedos estão com defeito ou não, realizando 5 testes independentes. A probabilidade de um brinquedo estar com defeito é 0,2 . Qual é a probabilidade aproximada de exatamente 2 brinquedos estarem com defeito?
A) 0,2048
B) 0,2236
C) 0,2491
D) 0,2607
E) 0,27

Passo 1

Então, a gente tem um problema sobre a Distribuição Binomial. O fabricante está testando 5 brinquedos, e cada um tem 20% de chance de estar com defeito. A gente quer descobrir qual é a probabilidade de exatamente 2 desses brinquedos estarem defeituosos. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distribuição binomial, que ajuda a calcular probabilidades de eventos com dois resultados possíveis (como defeito ou não defeito) em várias tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
  • n = número total de tentativas = 5 brinquedos
  • k = número de sucessos que queremos = 2 brinquedos com defeito
  • p = probabilidade de sucesso em cada tentativa = 0,2 (20%)

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1-p)^n-k
Onde $ C(n, k) $ é o número de combinações de n elementos tomados k a k, que calcula quantas maneiras diferentes podemos ter exatamente k sucessos em n tentativas.

Passo 4

Vamos calcular $ C(n, k) $:
C(n, k)

Passo 5

Agora, vamos aplicar os valores na fórmula:
P(X = 2) = 10 times (0,2)^2 times (0,8)^3
Calculando cada parte:
(0,2)^2 = 0,04
(0,8)^3 = 0,512
Então:
P(X = 2) = 10 times 0,04 times 0,512 = 10 times 0,02048 = 0,2048

Resposta

A probabilidade de exatamente 2 brinquedos estarem com defeito é 0,2048. Portanto, a resposta correta é a opção A) 0,2048.

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