Uma máquina industrial opera em diferentes temperaturas (X) e tem rendimentos (Y) variados. A tabela a seguir mostra a distribuição conjunta das probabilidades de X (em ^circ C ) e Y (rendimento em %):
X( ^circ C) Y(%) P(X, Y)
20 50 0,10
20 60 0,15
25 50 0,20
25 60 0,25
30 50 0,10
30 60 0,20
a) Calcule as esperanças matemática E[X] e E[Y].
b) Determine E[X Y].
c) Encontre Var(X) e Var(Y).
d) Calcule o coeficiente de correlação rhoX Y.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão sobre probabilidade conjunta envolvendo duas variáveis: a temperatura ( X) em graus Celsius e o rendimento ( Y) em porcentagem de uma máquina industrial. A tabela mostra as diferentes combinações dessas variáveis e as respectivas probabilidades de cada combinação ocorrer. Vamos precisar de conceitos como esperança matemática, variância e coeficiente de correlação para resolver os itens de a) a d).

Passo 2

Vamos começar com o item a), que pede para calcular as esperanças matemáticas E[X] e E[Y].
A esperança matemática é como a média ponderada dos valores que uma variável pode assumir, ponderada pelas suas probabilidades. Para calcular E[X], somamos cada valor de X multiplicado pela probabilidade de X ocorrer, independente de Y. O mesmo vale para E[Y].

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as probabilidades marginais de X e Y. Isso significa somar as probabilidades para cada valor de X ignorando Y, e vice-versa.
Para X:
  • P(X=20) = 0,10 + 0,15 = 0,25
  • P(X=25) = 0,20 + 0,25 = 0,45
  • P(X=30) = 0,10 + 0,20 = 0,30
Para Y:
  • P(Y=50) = 0,10 + 0,20 + 0,10 = 0,40
  • P(Y=60) = 0,15 + 0,25 + 0,20 = 0,60

Passo 4

Agora, calculamos E[X]:
E[X] = sum X cdot P(X) = 20 times 0,25 + 25 times 0,45 + 30 times 0,30
E[X] = 5 + 11,25 + 9 = 25,25
E E[Y]:
E[Y] = sum Y cdot P(Y) = 50 times 0,40 + 60 times 0,60
E[Y] = 20 + 36 = 56

Passo 5

Finalizando o item a), temos que as esperanças matemáticas são:
E[X] = 25,25 , ^circC
E[Y] = 56%

Passo 6

Agora, vamos para o item b), que pede para determinar E[X Y]. Isso significa calcular a esperança do produto das duas variáveis.
A fórmula para E[X Y] é:
E[X Y] = sum X cdot Y cdot P(X, Y)

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
(20 times 50) times 0,10 = 1000 times 0,10 = 100
(20 times 60) times 0,15 = 1200 times 0,15 = 180
(25 times 50) times 0,20 = 1250 times 0,20 = 250
(25 times 60) times 0,25 = 1500 times 0,25 = 375
(30 times 50) times 0,10 = 1500 times 0,10 = 150
(30 times 60) times 0,20 = 1800 times 0,20 = 360

Passo 8

Somando todos esses valores:
E[X Y] = 100 + 180 + 250 + 375 + 150 + 360 = 1415

Passo 9

Então, a resposta para o item b) é:
E[X Y] = 1415

Passo 10

Passando para o item c), precisamos encontrar as variâncias Var(X) e Var(Y).
A variância mede o quanto os valores de uma variável estão dispersos em relação à sua média. A fórmula é:
Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2
onde Z pode ser X ou Y. Primeiro, precisamos calcular E[X^2] e E[Y^2].

Passo 11

Vamos calcular E[X^2]:
E[X^2] = sum X^2 cdot P(X) = 20^2 times 0,25 + 25^2 times 0,45 + 30^2 times 0,30
E[X^2] = 400 times 0,25 + 625 times 0,45 + 900 times 0,30 = 100 + 281,25 + 270 = 651,25
E E[Y^2]:
E[Y^2] = sum Y^2 cdot P(Y) = 50^2 times 0,40 + 60^2 times 0,60
E[Y^2] = 2500 times 0,40 + 3600 times 0,60 = 1000 + 2160 = 3160

Passo 12

Agora, calculamos as variâncias:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 651,25 - (25,25)^2
Var(X) = 651,25 - 637,5625 = 13,6875
Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 3160 - 56^2
Var(Y) = 3160 - 3136 = 24

Passo 13

Então, as variâncias são:
Var(X) = 13,6875
Var(Y) = 24

Passo 14

Finalmente, para o item d), precisamos calcular o coeficiente de correlação rhoX Y, que mede a relação linear entre X e Y. A fórmula é:
rhoX Y = E[XY] - E[X] E[Y]raizVar(X) raizVar(Y)

Passo 15

Substituindo os valores que já calculamos:
rhoX Y = 1415 - (25,25 times 56)raiz13,6875 times raiz24
25,25 times 56 = 1414
rhoX Y = 1415 - 1414raiz13,6875 times raiz24 = 1raiz13,6875 times raiz24
raiz13,6875 approx 3,7
raiz24 approx 4,899
rhoX Y approx 13,7 times 4,899 approx 118,126 approx 0,0552

Resposta

a) E[X] = 25,25,^circC e E[Y] = 56%.
b) E[X Y] = 1415.
c) Var(X) = 13,6875 e Var(Y) = 24.
d) O coeficiente de correlação é aproximadamente rhoX Y = 0,0552.

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