Uma máquina industrial opera em diferentes temperaturas (X) e tem rendimentos (Y) variados. A tabela a seguir mostra a distribuição conjunta das probabilidades de X (em
) e Y (rendimento em %):
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|
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20 | 50 | 0,10 |
20 | 60 | 0,15 |
25 | 50 | 0,20 |
25 | 60 | 0,25 |
30 | 50 | 0,10 |
30 | 60 | 0,20 |
a) Calcule as esperanças matemática
e
.
b) Determine .
c) Encontre e
.
d) Calcule o coeficiente de correlação .
b) Determine
c) Encontre
d) Calcule o coeficiente de correlação
Passo 1
Então, a gente tem uma questão sobre probabilidade conjunta envolvendo duas variáveis: a temperatura (
) em graus Celsius e o rendimento (
) em porcentagem de uma máquina industrial. A tabela mostra as diferentes combinações dessas variáveis e as respectivas probabilidades de cada combinação ocorrer. Vamos precisar de conceitos como esperança matemática, variância e coeficiente de correlação para resolver os itens de a) a d).
Passo 2
Vamos começar com o item a), que pede para calcular as esperanças matemáticas
e
.
A esperança matemática é como a média ponderada dos valores que uma variável pode assumir, ponderada pelas suas probabilidades. Para calcular
, somamos cada valor de
multiplicado pela probabilidade de
ocorrer, independente de
. O mesmo vale para
.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar as probabilidades marginais de
e
. Isso significa somar as probabilidades para cada valor de
ignorando
, e vice-versa.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, calculamos
:
E
:
Passo 5
Finalizando o item a), temos que as esperanças matemáticas são:
Passo 6
Agora, vamos para o item b), que pede para determinar
. Isso significa calcular a esperança do produto das duas variáveis.
A fórmula para
é:
Passo 7
Vamos calcular cada termo:
Passo 8
Somando todos esses valores:
Passo 9
Então, a resposta para o item b) é:
Passo 10
Passando para o item c), precisamos encontrar as variâncias
e
.
A variância mede o quanto os valores de uma variável estão dispersos em relação à sua média. A fórmula é:
onde
pode ser
ou
. Primeiro, precisamos calcular
e
.
Passo 11
Vamos calcular
:
E
:
Passo 12
Agora, calculamos as variâncias:
Passo 13
Então, as variâncias são:
Passo 14
Finalmente, para o item d), precisamos calcular o coeficiente de correlação
, que mede a relação linear entre
e
. A fórmula é:
Passo 15
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
a)
e
.
b)
.
c)
e
.
d) O coeficiente de correlação é aproximadamente
.