Considere a seguinte função densidade de probabilidades conjunta para as variáveis aleatórias X e Y:
a) Chamamos de função de densidade marginal as funções obtidas quando se integra em cada variável, de forma separada, no intervalo dado. Baseado nisso, Determine as funções de densidade marginais de X e Y .
b) Calcule
.
a) Chamamos de função de densidade marginal as funções obtidas quando se integra em cada variável, de forma separada, no intervalo dado. Baseado nisso, Determine as funções de densidade marginais de X e Y .
b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de densidade de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias, X e Y. O objetivo da parte a) é encontrar as funções de densidade marginais de X e Y. Para isso, vamos precisar integrar a função conjunta em relação a uma das variáveis, basicamente “eliminando” a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a densidade marginal de X, que chamamos de $ f_X(x) $. Para isso, vamos integrar a função conjunta $ f(x, y) $ em relação a Y, dentro dos limites dados (de 1 a 2).
Passo 3
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, distribuímos o 1/9:
Agora, integramos termo a termo:
Avaliado de 1 a 2:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a densidade marginal de Y, $ f_Y(y) $. Para isso, integramos a função conjunta em relação a X, dentro dos limites de 1 a 3.
Passo 5
Resolva a integral:
Integrando termo a termo:
Avaliado de 1 a 3:
Então:
Passo 6
Agora, para a parte b), queremos calcular $ P(X > 2) $. Já temos a densidade marginal de X, $ f_X(x) = \frac{x - 0.5}{3} $, então vamos integrar essa função de X=2 até X=3.
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Calculando:
Para x = 3:
Para x = 2:
Então:
Resposta
As funções de densidade marginais são:
E a probabilidade $ P(X > 2) $ é igual a $ \frac{2}{3} $.