Considere a seguinte função densidade de probabilidades conjunta para as variáveis aleatórias X e Y:
f(x, y)=r3 x-y9, se 1
a) Chamamos de função de densidade marginal as funções obtidas quando se integra em cada variável, de forma separada, no intervalo dado. Baseado nisso, Determine as funções de densidade marginais de X e Y .
b) Calcule P(X>2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de densidade de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias, X e Y. O objetivo da parte a) é encontrar as funções de densidade marginais de X e Y. Para isso, vamos precisar integrar a função conjunta em relação a uma das variáveis, basicamente “eliminando” a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade marginal de X, que chamamos de $ f_X(x) $. Para isso, vamos integrar a função conjunta $ f(x, y) $ em relação a Y, dentro dos limites dados (de 1 a 2).
fX(x)

Passo 3

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, distribuímos o 1/9:
fX(x) = 19 integral1^2 (3x - y) , dy
Agora, integramos termo a termo:
integral (3x - y) , dy = 3x cdot y - 12 y^2
Avaliado de 1 a 2:
3x cdot 2 - 12 (2)^2 - (3x cdot 1 - 12 (1)^2) = 6x - 2 - (3x - 0.5) = 3x - 1.5
Então:
fX(x) = 19 (3x - 1.5) = 3x - 1.59 = x - 0.53

Passo 4

Agora, vamos encontrar a densidade marginal de Y, $ f_Y(y) $. Para isso, integramos a função conjunta em relação a X, dentro dos limites de 1 a 3.
fY(y)

Passo 5

Resolva a integral:
fY(y) = 19 integral1^3 (3x - y) , dx
Integrando termo a termo:
integral (3x - y) , dx = 32 x^2 - yx
Avaliado de 1 a 3:
(32 (3)^2 - y cdot 3) - (32 (1)^2 - y cdot 1) = (272 - 3y) - (32 - y) = 242 - 2y = 12 - 2y
Então:
fY(y) = 19 (12 - 2y) = 12 - 2y9 = 4 - 23y3

Passo 6

Agora, para a parte b), queremos calcular $ P(X > 2) $. Já temos a densidade marginal de X, $ f_X(x) = \frac{x - 0.5}{3} $, então vamos integrar essa função de X=2 até X=3.
P(X > 2)

Passo 7

Vamos resolver a integral:
P(X > 2) = 13 integral2^3 (x - 0.5) , dx = 13 [12x^2 - 0.5x ]2^3
Calculando:
Para x = 3:
12(9) - 0.5(3) = 4.5 - 1.5 = 3
Para x = 2:
12(4) - 0.5(2) = 2 - 1 = 1
Então:
P(X > 2) = 13 (3 - 1) = 23

Resposta

As funções de densidade marginais são:
fX(x) = x - 0.53, 1 < x < 3
fY(y) = 12 - 2y9, 1 < y < 2
E a probabilidade $ P(X > 2) $ é igual a $ \frac{2}{3} $.

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