Suponha que a
. conjunta da variável aleatória bidimensional
seja dada por:
Calcule:
a)
. (Sugestão: na integral dupla, considere o intervalo
.)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, definida por:
A matéria envolvida aqui é Probabilidade, especificamente o cálculo de probabilidades usando funções de densidade de probabilidade conjunta. Vamos precisar usar integrais duplas para encontrar as probabilidades solicitadas nos itens a) e b).
Passo 2
Vamos começar pelo item a) $ P\left(X > \dfrac{1}{2}\right) $. Isso significa que queremos a probabilidade de $ X $ ser maior que 1/2, independentemente do valor de $ Y $.
Para encontrar essa probabilidade, precisamos integrar a função de densidade conjunta $ f(x, y) $ sobre a região onde $ X > \dfrac{1}{2} $. Ou seja, vamos calcular:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Calculando cada parte:
- $ \int_{0}^{2} x^{2} dy = x^{2} \cdot y \Big|_{0}^{2} = x^{2} \cdot 2 = 2x^{2} $
- $ \int_{0}^{2} \dfrac{x y}{3} dy = \dfrac{x}{3} \cdot \dfrac{y^{2}}{2} \Big|_{0}^{2} = \dfrac{x}{3} \cdot \dfrac{4}{2} = \dfrac{2x}{3} $
Somando as duas partes:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ x $ de $ \frac{1}{2} $ a 1:
Calculando cada integral:
- $ 2 \int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{2} dx = 2 \cdot \left( \dfrac{x^{3}}{3} \Big|_{\frac{1}{2}}^{1} \right) = 2 \cdot \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{24} \right) = 2 \cdot \dfrac{7}{24} = \dfrac{7}{12} $
- $ \dfrac{2}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{1} x , dx = \dfrac{2}{3} \cdot \left( \dfrac{x^{2}}{2} \Big|_{\frac{1}{2}}^{1} \right) = \dfrac{2}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8} \right) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{4} $
Somando as duas partes:
Passo 5
Agora, vamos para o item b) $ P\left(X > \dfrac{1}{4}\right) $. Semelhantemente, queremos a probabilidade de $ X $ ser maior que 1/4.
A integral para essa probabilidade será:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a $ y $:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão em relação a $ x $ de $ \frac{1}{4} $ a 1:
Calculando cada parte:
- $ 2 \int_{\frac{1}{4}}^{1} x^{2} dx = 2 \cdot \left( \dfrac{x^{3}}{3} \Big|_{\frac{1}{4}}^{1} \right) = 2 \cdot \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{192} \right) = 2 \cdot \dfrac{63}{192} = \dfrac{126}{192} = \dfrac{21}{32} $
- $ \dfrac{2}{3} \int_{\frac{1}{4}}^{1} x , dx = \dfrac{2}{3} \cdot \left( \dfrac{x^{2}}{2} \Big|_{\frac{1}{4}}^{1} \right) = \dfrac{2}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{32} \right) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{15}{32} = \dfrac{30}{96} = \dfrac{5}{16} $
Somando as duas partes:
Resposta
a) $ P\left(X > \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5}{6} $
b) $ P\left(X > \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{31}{32} $