Considere X e Y duas variáveis discretas; para um conjunto de 6 observações foram determinados os seguintes valores,
lll sum xi=2981 & sum xi^2=1934523 & sum xi yi=1855853 sum yi=2875 & sum yi^2=1780659 &
Sabendo que um dos valores observados para a variável X foi 333 diga, justificando, se é possível obter uma estimativa do correspondente valor de Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas variáveis discretas, $ X $ e $ Y $, com um conjunto de 6 observações. Temos algumas somas relacionadas a essas variáveis, como $ \sum x_i $, $ \sum x_i^2 $, $ \sum y_i $, $ \sum y_i^2 $ e $ \sum x_i y_i $. Além disso, sabemos que um dos valores observados para $ X $ foi 333. A questão é: é possível estimar o valor correspondente de $ Y $ para esse $ X = 333 $?
Para resolver isso, vamos usar Regressão Linear, que é uma técnica estatística que nos permite prever o valor de uma variável com base em outra.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os dados que temos. Vamos resumir as somas fornecidas:
sum xi &= 2981 sum xi^2 &= 1,934,523 sum yi &= 2,875 sum yi^2 &= 1,780,659 sum xi yi &= 1,855,853 n &= 6 (número de observações) úçõ

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes da regressão linear, que são $ a $ e $ b $ na equação:
a
Onde:
  • $ b $ é o coeficiente angular, que mostra a inclinação da reta.
  • $ a $ é o coeficiente linear, que é o ponto onde a reta intercepta o eixo $ Y $.

Passo 4

Para encontrar $ b $, usamos a fórmula:
b
Substituindo os valores:
b = n sum xi yi - sum xi sum yin sum xi^2 - (sum xi)^2
Vamos calcular passo a passo:
b = 6 times 1,855,853 - 2,981 times 2,8756 times 1,934,523 - (2,981)^2
Agora, substituindo de volta:
6 times 1,855,853 &= 11,135,118 2,981 times 2,875 &= 8,559,125 6 times 1,934,523 &= 11,607,138 (2,981)^2 &= 8,886,761

Passo 5

Agora que temos $ b $, vamos encontrar $ a $ usando a fórmula:
b
Substituindo os valores:
a
Calculando:
a = sum yi - b sum xin
a = 2,875 - 0,947 times 2,9816

Passo 6

Agora que temos os coeficientes da regressão $ a $ e $ b $, podemos estimar o valor de $ Y $ quando $ X = 333 $:
a
Calculando:
b
Y

Resposta

Sim, é possível estimar o valor correspondente de $ Y $ quando $ X = 333 $. A estimativa de $ Y $ é aproximadamente 324,217.

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