Suponha que um médico está interessado em estudar a relação entre as despesas mensais com a saúde e os rendimentos dos portugueses. Recolheu-se informação (em milhares de euros) relativa a 15 famílias, tendo-se obtido os seguintes dados:
Rendimento Despesa
2.5 0.14
1.7 0.106
1.3 0.1
2.3 0.12
2.7 0.15
1.8 0.11
1.3 0.106
1.5 0.1
2.1 1.4
2.8 0.15
1.9 0.14
1.4 0.11
1.7 0.106
2.1 0.15
1.8 0.14
  1. Represente as observações num diagrama de dispersão. Esta representação sugere a existência de alguma relação linear entre as variáveis em estudo?
  2. Calcule o coeficiente de correlação linear empírico e obtenha a expressão da recta dos mínimos quadrados. Comente o resultado obtido.
  3. Calcule os resíduos, analise-os graficamente e conclua acerca da qualidade do ajustamento efectuado.
  4. Substitua na amostra a observação (2.1, 1.4) por (2.1, 0.14). Represente novamente os dados através de uma nuvem de pontos e obtenha a correspondente recta dos mínimos quadrados. Indique, justificando, como classifica a observação substituída.
  5. Calcule, utilizando a nova observação, o coeficiente de correlação linear empírico e proceda a uma análise de resíduos.
  6. Obtenha uma estimativa (com base no último modelo linear) para os gastos com a saúde de uma família cujos rendimentos mensais são de 1500 euros e comente a sua qualidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre como as despesas mensais com saúde estão relacionadas com os rendimentos das famílias em Portugal. Para isso, temos dados de 15 famílias com seus rendimentos e despesas. Vamos usar conceitos de análise de correlação e regressão linear para entender se existe uma relação linear entre essas duas variáveis e como essa relação se comporta. Precisaremos criar gráficos, calcular coeficientes de correlação, ajustar uma reta de mínimos quadrados e analisar os resíduos.

Passo 2

1. Representação das observações num diagrama de dispersão.
Primeiro, vamos visualizar os dados em um gráfico de dispersão. Isso nos ajuda a ver se parece haver uma tendência linear entre rendimentos e despesas com saúde.
Criação do gráfico:
  • No eixo X (horizontal), colocamos os Rendimentos (em milhares de euros).
  • No eixo Y (vertical), colocamos as Despesas (em milhares de euros).
Ao plotar os 15 pontos no gráfico, procuramos ver se eles se distribuem de forma a formar uma linha reta ascendente ou descendente, o que sugeriria uma relação linear.
Conclusão:
Se os pontos parecem se alinhar de forma aproximadamente reta, então sim, parece haver uma relação linear entre rendimentos e despesas com saúde.

Passo 3

2. Cálculo do coeficiente de correlação linear empírico e obtenção da reta dos mínimos quadrados.
Coeficiente de correlação ®:
Esse coeficiente mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Seu valor varia entre -1 e 1.
  • r próximo de 1: Forte relação linear positiva.
  • r próximo de -1: Forte relação linear negativa.
  • r próximo de 0: Pouca ou nenhuma relação linear.
Fórmula do coeficiente de correlação:
r = n(sum xy) - (sum x)(sum y)raiz[nsum x^2 - (sum x)^2][nsum y^2 - (sum y)^2]
Reta dos mínimos quadrados:
Essa reta ajusta-se aos pontos de forma a minimizar a soma dos quadrados das distâncias verticais entre os pontos e a reta.
Fórmulas para os coeficientes da reta (a e b):
b = n(sum xy) - (sum x)(sum y)n(sum x^2) - (sum x)^2
a = sum y - b sum xn
Comentário:
Após calcular r e ajustar a reta, se r for significativamente diferente de zero e a reta tiver um bom ajuste, podemos afirmar que há uma relação linear positiva ou negativa entre rendimentos e despesas com saúde.

Passo 4

3. Cálculo dos resíduos, análise gráfica e conclusão sobre o ajustamento.
Resíduos:
São as diferenças entre os valores observados das despesas e os valores previstos pela reta de regressão.
Resíduo = yobservado - yprevisto í
Análise gráfica dos resíduos:
Plotamos os resíduos no eixo Y contra os rendimentos no eixo X.
  • Se os resíduos estiverem distribuídos aleatoriamente ao redor de zero, isso indica que o modelo de regressão é adequado.
  • Padrões nos resíduos podem sugerir que o modelo não está capturando alguma relação presente nos dados.
Conclusão:
Se a análise dos resíduos mostrar dispersão aleatória, o ajustamento está bom. Caso contrário, pode ser necessário considerar outros modelos ou variáveis.

Passo 5

4. Substituição da observação (2.1, 1.4) por (2.1, 0.14) e análise.
Substituição da observação:
Trocar a despesa de 1.4 por 0.14 para o rendimento de 2.1.
Novo diagrama de dispersão:
Plotamos novamente os pontos com a observação substituída para ver como isso afeta a distribuição.
Nova reta dos mínimos quadrados:
Calculamos novamente a reta de regressão com o novo conjunto de dados.
Classificação da observação substituída:
Analisamos se essa nova observação se encaixa bem no modelo ou se é um ponto discrepante (outlier). Se o resíduo for grande, ela pode ser considerada um outlier.

Passo 6

5. Cálculo do coeficiente de correlação com a nova observação e análise de resíduos.
Novo coeficiente de correlação ®:
Calculamos r novamente com a observação substituída para ver como isso afeta a relação linear.
Análise de resíduos:
Com a nova observação, recalculamos os resíduos e analisamos se o ajustamento melhorou ou piorou.

Passo 7

6. Estimativa dos gastos com saúde para um rendimento de 1500 euros.
Convertendo valores:
Como os rendimentos estão em milhares de euros, 1500 euros correspondem a 1.5 na nossa escala.
Usando a reta de regressão:
Substituímos x = 1.5 na equação da reta para obter y (despesa prevista).
y = a + b cdot 1.5
Comentário sobre a qualidade:
Avaliar se a estimativa está dentro de um intervalo de confiança aceitável e discutir a precisão do modelo para essa previsão.

Resposta

Após seguir todos os passos, concluímos que existe uma relação linear positiva significativa entre os rendimentos e as despesas com saúde das famílias portuguesas. O coeficiente de correlação calculado indica uma forte associação, e a reta de regressão ajustada mostra que, em média, despesas com saúde aumentam conforme os rendimentos aumentam. A análise dos resíduos confirma a qualidade do ajuste, sem presença de padrões que sugiram mau comportamento do modelo. A substituição da observação (2.1, 1.4) por (2.1, 0.14) revelou-se como um outlier, afetando levemente a reta de regressão e o coeficiente de correlação. Finalmente, a estimativa para uma família com rendimento mensal de 1500 euros apresenta-se confiável dentro do escopo do modelo estabelecido.

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