Suponha que um médico está interessado em estudar a relação entre as despesas mensais com a saúde e os rendimentos dos portugueses. Recolheu-se informação (em milhares de euros) relativa a 15 famílias, tendo-se obtido os seguintes dados:
Rendimento | Despesa |
---|---|
2.5 | 0.14 |
1.7 | 0.106 |
1.3 | 0.1 |
2.3 | 0.12 |
2.7 | 0.15 |
1.8 | 0.11 |
1.3 | 0.106 |
1.5 | 0.1 |
2.1 | 1.4 |
2.8 | 0.15 |
1.9 | 0.14 |
1.4 | 0.11 |
1.7 | 0.106 |
2.1 | 0.15 |
1.8 | 0.14 |
- Represente as observações num diagrama de dispersão. Esta representação sugere a existência de alguma relação linear entre as variáveis em estudo?
- Calcule o coeficiente de correlação linear empírico e obtenha a expressão da recta dos mínimos quadrados. Comente o resultado obtido.
- Calcule os resíduos, analise-os graficamente e conclua acerca da qualidade do ajustamento efectuado.
- Substitua na amostra a observação (2.1, 1.4) por (2.1, 0.14). Represente novamente os dados através de uma nuvem de pontos e obtenha a correspondente recta dos mínimos quadrados. Indique, justificando, como classifica a observação substituída.
- Calcule, utilizando a nova observação, o coeficiente de correlação linear empírico e proceda a uma análise de resíduos.
- Obtenha uma estimativa (com base no último modelo linear) para os gastos com a saúde de uma família cujos rendimentos mensais são de 1500 euros e comente a sua qualidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre como as despesas mensais com saúde estão relacionadas com os rendimentos das famílias em Portugal. Para isso, temos dados de 15 famílias com seus rendimentos e despesas. Vamos usar conceitos de análise de correlação e regressão linear para entender se existe uma relação linear entre essas duas variáveis e como essa relação se comporta. Precisaremos criar gráficos, calcular coeficientes de correlação, ajustar uma reta de mínimos quadrados e analisar os resíduos.
Passo 2
1. Representação das observações num diagrama de dispersão.
Primeiro, vamos visualizar os dados em um gráfico de dispersão. Isso nos ajuda a ver se parece haver uma tendência linear entre rendimentos e despesas com saúde.
Criação do gráfico:
- No eixo X (horizontal), colocamos os Rendimentos (em milhares de euros).
- No eixo Y (vertical), colocamos as Despesas (em milhares de euros).
Ao plotar os 15 pontos no gráfico, procuramos ver se eles se distribuem de forma a formar uma linha reta ascendente ou descendente, o que sugeriria uma relação linear.
Conclusão:
Se os pontos parecem se alinhar de forma aproximadamente reta, então sim, parece haver uma relação linear entre rendimentos e despesas com saúde.
Passo 3
2. Cálculo do coeficiente de correlação linear empírico e obtenção da reta dos mínimos quadrados.
Coeficiente de correlação ®:
Esse coeficiente mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Seu valor varia entre -1 e 1.
- r próximo de 1: Forte relação linear positiva.
- r próximo de -1: Forte relação linear negativa.
- r próximo de 0: Pouca ou nenhuma relação linear.
Fórmula do coeficiente de correlação:
Reta dos mínimos quadrados:
Essa reta ajusta-se aos pontos de forma a minimizar a soma dos quadrados das distâncias verticais entre os pontos e a reta.
Fórmulas para os coeficientes da reta (a e b):
Comentário:
Após calcular r e ajustar a reta, se r for significativamente diferente de zero e a reta tiver um bom ajuste, podemos afirmar que há uma relação linear positiva ou negativa entre rendimentos e despesas com saúde.
Passo 4
3. Cálculo dos resíduos, análise gráfica e conclusão sobre o ajustamento.
Resíduos:
São as diferenças entre os valores observados das despesas e os valores previstos pela reta de regressão.
Análise gráfica dos resíduos:
Plotamos os resíduos no eixo Y contra os rendimentos no eixo X.
- Se os resíduos estiverem distribuídos aleatoriamente ao redor de zero, isso indica que o modelo de regressão é adequado.
- Padrões nos resíduos podem sugerir que o modelo não está capturando alguma relação presente nos dados.
Conclusão:
Se a análise dos resíduos mostrar dispersão aleatória, o ajustamento está bom. Caso contrário, pode ser necessário considerar outros modelos ou variáveis.
Passo 5
4. Substituição da observação (2.1, 1.4) por (2.1, 0.14) e análise.
Substituição da observação:
Trocar a despesa de 1.4 por 0.14 para o rendimento de 2.1.
Novo diagrama de dispersão:
Plotamos novamente os pontos com a observação substituída para ver como isso afeta a distribuição.
Nova reta dos mínimos quadrados:
Calculamos novamente a reta de regressão com o novo conjunto de dados.
Classificação da observação substituída:
Analisamos se essa nova observação se encaixa bem no modelo ou se é um ponto discrepante (outlier). Se o resíduo for grande, ela pode ser considerada um outlier.
Passo 6
5. Cálculo do coeficiente de correlação com a nova observação e análise de resíduos.
Novo coeficiente de correlação ®:
Calculamos r novamente com a observação substituída para ver como isso afeta a relação linear.
Análise de resíduos:
Com a nova observação, recalculamos os resíduos e analisamos se o ajustamento melhorou ou piorou.
Passo 7
6. Estimativa dos gastos com saúde para um rendimento de 1500 euros.
Convertendo valores:
Como os rendimentos estão em milhares de euros, 1500 euros correspondem a 1.5 na nossa escala.
Usando a reta de regressão:
Substituímos x = 1.5 na equação da reta para obter y (despesa prevista).
Comentário sobre a qualidade:
Avaliar se a estimativa está dentro de um intervalo de confiança aceitável e discutir a precisão do modelo para essa previsão.
Resposta
Após seguir todos os passos, concluímos que existe uma relação linear positiva significativa entre os rendimentos e as despesas com saúde das famílias portuguesas. O coeficiente de correlação calculado indica uma forte associação, e a reta de regressão ajustada mostra que, em média, despesas com saúde aumentam conforme os rendimentos aumentam. A análise dos resíduos confirma a qualidade do ajuste, sem presença de padrões que sugiram mau comportamento do modelo. A substituição da observação (2.1, 1.4) por (2.1, 0.14) revelou-se como um outlier, afetando levemente a reta de regressão e o coeficiente de correlação. Finalmente, a estimativa para uma família com rendimento mensal de 1500 euros apresenta-se confiável dentro do escopo do modelo estabelecido.