O quadro seguinte é o resultado de observações feitas num túnel rodoviário durante períodos de 5 minutos, para o estudo da fluidez do tráfego,
Densidade (Veic. / Km) Velocidade (Km / hora)
43 27
55 23
40 31
52 24
39 35
33 41
50 27
33 40
44 32
21 51
  1. Calcule a variância de cada um dos conjuntos de dados observados. Qual dos conjuntos de dados apresenta maior dispersão? Justifique.
  2. Calcule o coeficiente de correlação linear entre as duas variáveis. Que conclusões pode retirar?
  3. Determine a equação da recta de regressão, caso se justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de analisar dados de tráfego coletados em um túnel rodoviário. A gente tem duas variáveis: Densidade (quantos veículos por quilômetro) e Velocidade (em km/h). Nosso objetivo é calcular a variância de cada conjunto de dados, descobrir qual deles tem maior dispersão, encontrar o coeficiente de correlação entre as duas variáveis e, se der, determinar a equação da reta de regressão. Para isso, vamos precisar entender como calcular variância, coeficiente de correlação e regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a variância de cada conjunto de dados. A variância mede o quão espalhados os dados estão em relação à média. Para calcular, seguimos os passos:
  1. Calcular a média de cada conjunto.
  2. Subtrair a média de cada valor para encontrar o desvio de cada ponto.
  3. Elevar ao quadrado esses desvios.
  4. Somar todos esses quadrados.
  5. Dividir pela quantidade de dados (ou n-1 se for uma amostra, mas vamos usar n aqui).
Vamos começar com a Densidade:
Dados de Densidade: 43, 55, 40, 52, 39, 33, 50, 33, 44, 21
  1. Média da Densidade:
    barD = 43 + 55 + 40 + 52 + 39 + 33 + 50 + 33 + 44 + 2110 = 39010 = 39
  2. Calculando os desvios e seus quadrados:
Densidade Desvio ( D - barD) Quadrado do Desvio
43 4 16
55 16 256
40 1 1
52 13 169
39 0 0
33 -6 36
50 11 121
33 -6 36
44 5 25
21 -18 324
  1. Somando os quadrados dos desvios:
    16 + 256 + 1 + 169 + 0 + 36 + 121 + 36 + 25 + 324 = 984
  2. Variância da Densidade:
    sigma^2D = 98410 = 98,4
Agora, vamos para a Velocidade:
Dados de Velocidade: 27, 23, 31, 24, 35, 41, 27, 40, 32, 51
  1. Média da Velocidade:
    barV = 27 + 23 + 31 + 24 + 35 + 41 + 27 + 40 + 32 + 5110 = 33110 = 33,1
  2. Calculando os desvios e seus quadrados:
Velocidade Desvio ( V - barV) Quadrado do Desvio
27 -6,1 37,21
23 -10,1 102,01
31 -2,1 4,41
24 -9,1 82,81
35 1,9 3,61
41 7,9 62,41
27 -6,1 37,21
40 6,9 47,61
32 -1,1 1,21
51 17,9 320,41
  1. Somando os quadrados dos desvios:
    37,21 + 102,01 + 4,41 + 82,81 + 3,61 + 62,41 + 37,21 + 47,61 + 1,21 + 320,41 = 688,9
  2. Variância da Velocidade:
    sigma^2V = 688,910 = 68,89

Passo 3

Agora, vamos comparar as variâncias para ver qual conjunto de dados tem maior dispersão. A variância da Densidade é 98,4, enquanto a variância da Velocidade é 68,89. Como 98,4 é maior que 68,89, a Densidade apresenta maior dispersão. Isso significa que os valores de densidade estão mais espalhados em torno da média do que os valores de velocidade.

Passo 4

Vamos calcular agora o coeficiente de correlação linear entre Densidade e Velocidade. Esse coeficiente nos diz o quanto as duas variáveis variam juntas. O valor varia entre -1 e 1, onde valores próximos a 1 indicam uma forte correlação positiva, próximos a -1 uma forte correlação negativa, e perto de 0 pouca ou nenhuma correlação.
A fórmula do coeficiente de correlação $ r $ é:
r
onde $ Cov(D, V) $ é a covariância entre Densidade e Velocidade, e $ \sigma_D $ e $ \sigma_V $ são os desvios padrão das duas variáveis.
Primeiro, calculamos a covariância:
  1. Calculamos o produto dos desvios para cada par de dados:
Densidade Velocidade Desvio D ( r = Cov(D, V)sigmaD cdot sigmaV ) Desvio V ( Cov(D, V) ) Produto dos Desvios
43 27 4 -6,1 -24,4
55 23 16 -10,1 -161,6
40 31 1 -2,1 -2,1
52 24 13 -9,1 -118,3
39 35 0 1,9 0
33 41 -6 7,9 -47,4
50 27 11 -6,1 -67,1
33 40 -6 6,9 -41,4
44 32 5 -1,1 -5,5
21 51 -18 17,9 -322,2
  1. Somamos esses produtos:
sigmaD
  1. Covariância:
sigmaV
Agora, os desvios padrão ($ \sigma $) são a raiz quadrada da variância:
D - barD
V - barV
  1. Calculando o coeficiente de correlação:
-24,4 -161,6 -2,1 -118,3 + 0 -47,4 -67,1 -41,4 -5,5 -322,2 = -790

Passo 5

Com o coeficiente de correlação $ r \approx -0,96 $, vemos que há uma correlação negativa muito forte entre Densidade e Velocidade. Isso significa que, à medida que a densidade de veículos aumenta, a velocidade tende a diminuir significativamente. Em termos práticos, isso confirma o que se espera no trânsito: mais veículos no túnel fazem com que os carros diminuam a velocidade.

Passo 6

Agora, vamos determinar a equação da reta de regressão. Como temos uma correlação significativa entre as variáveis, é justificável calcular a equação que melhor ajusta os dados, permitindo prever a Velocidade com base na Densidade.
A fórmula da reta de regressão de $ V $ em função de $ D $ é:
V
onde:
D
V = a + bD
Então, arredondando:
b = Cov(D, V)sigmaD^2 = -7998,4 approx -0,803

Resposta

  1. A variância da Densidade é 98,4 e da Velocidade é 68,89. A Densidade apresenta maior dispersão.
  2. O coeficiente de correlação é aproximadamente -0,96, indicando uma forte correlação negativa entre Densidade e Velocidade.
  3. A equação da reta de regressão é $ V \approx 64,42 - 0,80D $.

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