O quadro seguinte é o resultado de observações feitas num túnel rodoviário durante períodos de 5 minutos, para o estudo da fluidez do tráfego,
Densidade (Veic. / Km) | Velocidade (Km / hora) |
---|---|
43 | 27 |
55 | 23 |
40 | 31 |
52 | 24 |
39 | 35 |
33 | 41 |
50 | 27 |
33 | 40 |
44 | 32 |
21 | 51 |
- Calcule a variância de cada um dos conjuntos de dados observados. Qual dos conjuntos de dados apresenta maior dispersão? Justifique.
- Calcule o coeficiente de correlação linear entre as duas variáveis. Que conclusões pode retirar?
- Determine a equação da recta de regressão, caso se justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de analisar dados de tráfego coletados em um túnel rodoviário. A gente tem duas variáveis: Densidade (quantos veículos por quilômetro) e Velocidade (em km/h). Nosso objetivo é calcular a variância de cada conjunto de dados, descobrir qual deles tem maior dispersão, encontrar o coeficiente de correlação entre as duas variáveis e, se der, determinar a equação da reta de regressão. Para isso, vamos precisar entender como calcular variância, coeficiente de correlação e regressão linear.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a variância de cada conjunto de dados. A variância mede o quão espalhados os dados estão em relação à média. Para calcular, seguimos os passos:
- Calcular a média de cada conjunto.
- Subtrair a média de cada valor para encontrar o desvio de cada ponto.
- Elevar ao quadrado esses desvios.
- Somar todos esses quadrados.
- Dividir pela quantidade de dados (ou n-1 se for uma amostra, mas vamos usar n aqui).
Vamos começar com a Densidade:
Dados de Densidade: 43, 55, 40, 52, 39, 33, 50, 33, 44, 21
-
Média da Densidade:
-
Calculando os desvios e seus quadrados:
Densidade | Desvio (
|
Quadrado do Desvio |
---|---|---|
43 | 4 | 16 |
55 | 16 | 256 |
40 | 1 | 1 |
52 | 13 | 169 |
39 | 0 | 0 |
33 | -6 | 36 |
50 | 11 | 121 |
33 | -6 | 36 |
44 | 5 | 25 |
21 | -18 | 324 |
-
Somando os quadrados dos desvios:
-
Variância da Densidade:
Agora, vamos para a Velocidade:
Dados de Velocidade: 27, 23, 31, 24, 35, 41, 27, 40, 32, 51
-
Média da Velocidade:
-
Calculando os desvios e seus quadrados:
Velocidade | Desvio (
|
Quadrado do Desvio |
---|---|---|
27 | -6,1 | 37,21 |
23 | -10,1 | 102,01 |
31 | -2,1 | 4,41 |
24 | -9,1 | 82,81 |
35 | 1,9 | 3,61 |
41 | 7,9 | 62,41 |
27 | -6,1 | 37,21 |
40 | 6,9 | 47,61 |
32 | -1,1 | 1,21 |
51 | 17,9 | 320,41 |
-
Somando os quadrados dos desvios:
-
Variância da Velocidade:
Passo 3
Agora, vamos comparar as variâncias para ver qual conjunto de dados tem maior dispersão. A variância da Densidade é 98,4, enquanto a variância da Velocidade é 68,89. Como 98,4 é maior que 68,89, a Densidade apresenta maior dispersão. Isso significa que os valores de densidade estão mais espalhados em torno da média do que os valores de velocidade.
Passo 4
Vamos calcular agora o coeficiente de correlação linear entre Densidade e Velocidade. Esse coeficiente nos diz o quanto as duas variáveis variam juntas. O valor varia entre -1 e 1, onde valores próximos a 1 indicam uma forte correlação positiva, próximos a -1 uma forte correlação negativa, e perto de 0 pouca ou nenhuma correlação.
A fórmula do coeficiente de correlação $ r $ é:
onde $ Cov(D, V) $ é a covariância entre Densidade e Velocidade, e $ \sigma_D $ e $ \sigma_V $ são os desvios padrão das duas variáveis.
Primeiro, calculamos a covariância:
- Calculamos o produto dos desvios para cada par de dados:
Densidade | Velocidade | Desvio D (
|
Desvio V (
|
Produto dos Desvios |
---|---|---|---|---|
43 | 27 | 4 | -6,1 | -24,4 |
55 | 23 | 16 | -10,1 | -161,6 |
40 | 31 | 1 | -2,1 | -2,1 |
52 | 24 | 13 | -9,1 | -118,3 |
39 | 35 | 0 | 1,9 | 0 |
33 | 41 | -6 | 7,9 | -47,4 |
50 | 27 | 11 | -6,1 | -67,1 |
33 | 40 | -6 | 6,9 | -41,4 |
44 | 32 | 5 | -1,1 | -5,5 |
21 | 51 | -18 | 17,9 | -322,2 |
- Somamos esses produtos:
- Covariância:
Agora, os desvios padrão ($ \sigma $) são a raiz quadrada da variância:
- Calculando o coeficiente de correlação:
Passo 5
Com o coeficiente de correlação $ r \approx -0,96 $, vemos que há uma correlação negativa muito forte entre Densidade e Velocidade. Isso significa que, à medida que a densidade de veículos aumenta, a velocidade tende a diminuir significativamente. Em termos práticos, isso confirma o que se espera no trânsito: mais veículos no túnel fazem com que os carros diminuam a velocidade.
Passo 6
Agora, vamos determinar a equação da reta de regressão. Como temos uma correlação significativa entre as variáveis, é justificável calcular a equação que melhor ajusta os dados, permitindo prever a Velocidade com base na Densidade.
A fórmula da reta de regressão de $ V $ em função de $ D $ é:
onde:
Então, arredondando:
Resposta
- A variância da Densidade é 98,4 e da Velocidade é 68,89. A Densidade apresenta maior dispersão.
- O coeficiente de correlação é aproximadamente -0,96, indicando uma forte correlação negativa entre Densidade e Velocidade.
- A equação da reta de regressão é $ V \approx 64,42 - 0,80D $.