Sejam X e Y v.a.s independentes cada uma tendo distribuição exponencial de média 1. Determine a densidade conjunta de Z=X+Y e W=X /(X+Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, Z = X + Y e W = XX + Y, onde X e Y são independentes e seguem distribuição exponencial com média 1. Isso significa que cada uma tem a função densidade fX(x) = fY(y) = e^-x para x >= 0. Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis e calcular o determinante jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as variáveis Z e W. A variável Z é a soma de X e Y, enquanto W é a fração de X em relação ao total X + Y. Essas transformações são úteis para analisar a relação entre X e Y de uma forma diferente.

Passo 3

Para encontrar a densidade conjunta de Z e W, precisamos fazer uma mudança de variáveis das originais ( X, Y) para as novas ( Z, W). Isso envolve expressar X e Y em termos de Z e W. Sabemos que:
X = WZ e Y = Z - X = Z - WZ = Z(1 - W)
Isso nos permite reescrever qualquer função de X e Y em termos de Z e W.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a densidade. O jacobiano é a matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas, ou seja:
J = partial Xpartial Z & partial Xpartial W partial Ypartial Z & partial Ypartial W = W & Z 1 - W & -Z
O determinante desse jacobiano é:
|J| = W cdot (-Z) - Z cdot (1 - W) = -WZ - Z + WZ = -Z
Como estamos interessados no valor absoluto do determinante, temos |J| = Z.

Passo 5

Sabendo que X e Y são independentes, a densidade conjunta delas é o produto das densidades individuais:
fX,Y(x,y) = fX(x) cdot fY(y) = e^-x cdot e^-y = e^-(x + y)
Substituindo x = wz e y = z(1 - w), temos:
fX,Y(wz, z(1 - w)) = e^-wz cdot e^-z(1 - w) = e^-z

Passo 6

Finalmente, a densidade conjunta de Z e W é dada por:
fZ,W(z,w) = fX,Y(wz, z(1 - w)) cdot |J| = e^-z cdot z
Portanto, a densidade conjunta é:
fZ,W(z,w) = z e^-z, para z >= 0 e 0 <= w <= 1

Resposta

A densidade conjunta de Z e W é:
fZ,W(z,w) = z e^-z, para z >= 0 e 0 <= w <= 1

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