Sejam
e
v.a.s independentes cada uma tendo distribuição exponencial de média 1. Determine a densidade conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a densidade conjunta de duas variáveis aleatórias,
e
, onde
e
são independentes e seguem distribuição exponencial com média 1. Isso significa que cada uma tem a função densidade
para
. Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis e calcular o determinante jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as variáveis
e
. A variável
é a soma de
e
, enquanto
é a fração de
em relação ao total
. Essas transformações são úteis para analisar a relação entre
e
de uma forma diferente.
Passo 3
Para encontrar a densidade conjunta de
e
, precisamos fazer uma mudança de variáveis das originais (
,
) para as novas (
,
). Isso envolve expressar
e
em termos de
e
. Sabemos que:
Isso nos permite reescrever qualquer função de
e
em termos de
e
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a densidade. O jacobiano é a matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas, ou seja:
O determinante desse jacobiano é:
Como estamos interessados no valor absoluto do determinante, temos
.
Passo 5
Sabendo que
e
são independentes, a densidade conjunta delas é o produto das densidades individuais:
Substituindo
e
, temos:
Passo 6
Finalmente, a densidade conjunta de
e
é dada por:
Portanto, a densidade conjunta é:
Resposta
A densidade conjunta de
e
é: