Considere uma variável X de uma população de tamanho N com média mu e variância sigmax^2. Mostre que a variância populacional sigmax^2 pode ser obtida através da expressão sigmax^2=sumi=1^N Xi^2N-mu^2.

Passo 1

Temos uma população finita de tamanho N cujos valores são X1,X2,dots,XN. A média populacional é
mu = 1Nsumi=1^NXi
e a variância populacional, por definição direta, é
sigmax^2 = 1Nsumi=1^N(Xi-mu)^2
O objetivo é mostrar que essa definição equivale à fórmula
sigmax^2 = 1Nsumi=1^NXi^2 ;-;mu^2

Passo 2

Começamos pela definição da variância populacional:
sigmax^2 ;=; 1Nsumi=1^N(Xi-mu)^2

Passo 3

Expandimos o quadrado dentro do somatório usando
(Xi-mu)^2 = Xi^2 -2,Xi,mu + mu^2

Passo 4

Aplicamos essa expansão ao somatório:
sumi=1^N(Xi-mu)^2 = sumi=1^NXi^2 -2,musumi=1^NXi + sumi=1^Nmu^2

Passo 5

Usamos as propriedades de somatório:
sumi=1^NXi = Nmu e sumi=1^Nmu^2 = N,mu^2.
Assim,
sumi=1^N(Xi-mu)^2 = sumi=1^NXi^2 -2,mu,(Nmu) + N,mu^2 = sumi=1^NXi^2 - N,mu^2

Passo 6

Voltando à definição de sigmax^2 e dividindo por N, obtemos
sigmax^2 = 1Nl(sumi=1^NXi^2 - N,mu^2r) = 1Nsumi=1^NXi^2 - mu^2

Resposta

sigmax^2 ;=; sumi=1^NXi^2N ;-;mu^2

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