Considere uma variável
de uma população de tamanho
com média
e variância
. Mostre que a variância populacional
pode ser obtida através da expressão
.
Passo 1
Temos uma população finita de tamanho
cujos valores são
. A média populacional é
e a variância populacional, por definição direta, é
O objetivo é mostrar que essa definição equivale à fórmula
Passo 2
Começamos pela definição da variância populacional:
Passo 3
Expandimos o quadrado dentro do somatório usando
Passo 4
Aplicamos essa expansão ao somatório:
Passo 5
Usamos as propriedades de somatório:
e
.
Assim,
Assim,
Passo 6
Voltando à definição de
e dividindo por
, obtemos