Considere a EDO abaixo e transforme-a num sistema de EDO:
2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=5 \sin 2 x,

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
2\,y'' - y' - y = 5\,\sin(2x)
e pede para transformá-la em um sistema equivalente de equações de primeira ordem. O conteúdo aqui é a técnica de redução de ordem, onde introduzimos variáveis de estado para reescrever uma EDO de ordem maior como um sistema de EDOs de ordem um.

Passo 2

Definimos duas novas variáveis de estado para capturar y e sua derivada:
x_{1} = y, \quad x_{2} = y'.
Com isso, a primeira equação do sistema será exatamente a definição de x_{2}, ou seja, a derivada de x_{1}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de x_{1} e x_{2}:
Pela definição,
x_{1}' = y' = x_{2}.
Para x_{2}', usamos a EDO original isolando y'':
2\,y'' = y' + y + 5\,\sin(2x) \quad\Longrightarrow\quad y'' = \tfrac{1}{2}\,\bigl(y' + y + 5\,\sin(2x)\bigr).
Logo,
x_{2}' = y'' = \tfrac{1}{2}\,\bigl(x_{2} + x_{1} + 5\,\sin(2x)\bigr).

Resposta

O sistema equivalente de primeira ordem é
\begin{cases} x_{1}' = x_{2},\\\ x_{2}' = \tfrac{1}{2}\bigl(x_{2} + x_{1} + 5\,\sin(2x)\bigr). \end{cases}

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