Considere a EDO abaixo e transforme-a num sistema de EDO:
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=\operatorname{tg} x.

Passo 1

O enunciado pede transformar a EDO de terceira ordem
y''' + y' = \tan x
num sistema equivalente de EDOs de primeira ordem. O conteúdo aqui é redução de ordem: introduzir variáveis de estado para reescrever tudo em derivadas de primeira ordem.

Passo 2

Definimos as variáveis auxiliares
x_1(x) = y(x),\quad x_2(x) = y'(x),\quad x_3(x) = y''(x).
Com isso, queremos expressar \,x_1', x_2' e x_3' em função de x e dos próprios x_i.

Passo 3

Calculando as derivadas de cada variável, temos
x_1' = y' = x_2,
x_2' = y'' = x_3,
x_3' = y''' = -\,y' + \tan x = -\,x_2 + \tan x,
onde usamos a equação original para substituir y'''.

Resposta

\begin{cases} x_1' = x_2,\\\ x_2' = x_3,\\\ x_3' = -\,x_2 + \tan x. \end{cases}

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