periódica de período 2 L=2 \pi\).
(a) Encontre a série de Fourier de \(f(x)\). (Note que \(f\) é uma função par)
(b) Utilize a série de Fourier encontrada no item (a) para calcular a soma da série
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}
Solução:
(a) Como |x| é uma função par, a série de Fourier de f(x) é uma série em cossenos. Assim seus coeficientes de Fourier são
\begin{aligned} a_{0} & =\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) d x=\int_{0}^{\pi} x d x=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{\pi}=\frac{\pi^{2}}{2} \\\ a_{n} & =\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} d x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cdot \cos (n x) d x=\frac{2}{\pi}\left(\left.\frac{x}{n} \operatorname{sen}(n x)\right|_{0} ^{\pi}-\frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}(n x) d x\right) \\\ & =0+\left.\frac{2}{n^{2} \pi} \cos (n x)\right|_{0} ^{\pi}=\frac{2}{n^{2} \pi}\left((-1)^{n}-1\right)= \begin{cases}0 & \text { se } n \text { é par } \\\\ -\frac{4}{n^{2} \pi} & \text { se } n \text { é ímpar }\end{cases} \\\ b_{n} & =0 \end{aligned}
Série de Fourier de f(x)\] :
\[\frac{\pi^{2}}{4}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}} \cos (2 n-1) x\]
(b) Calculando a série de Fourier de \(f(x) em x=0 e levando em consideração que f(x) é contínua neste ponto, temos