Resolva os sistemas abaixo:
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}3 & -5 \\\ \frac{3}{4} & -1\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{1}{-1} e^{i / 2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear não homogêneo
\mathbf X' = A\,\mathbf X + \mathbf b\,e^{\tfrac i2 t},
onde
A = \begin{pmatrix}3 & -5 \\[6pt] \tfrac34 & -1\end{pmatrix}, \qquad \mathbf b = \begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix}.
O conteúdo usado será: (i) solução geral da parte homogênea via autovalores e autovetores de A; (ii) método dos coeficientes indeterminados para forçar um termo de forma \mathbf u\,e^{\tfrac i2 t}.]

Passo 2

Primeiro achamos os autovalores de A resolvendo
\det(A-\lambda I)=0 \;\Longrightarrow\;(3-\lambda)(-1-\lambda)+\tfrac{15}{4}=0 \;\Longrightarrow\;\lambda^2-2\lambda+\tfrac34=0.
As raízes são
\lambda_{1}=\tfrac32, \qquad \lambda_{2}=\tfrac12.

Passo 3

Agora obtemos os respectivos autovetores:
Para \lambda_1=\tfrac32 temos (3-\tfrac32)x-5y=0\Rightarrow\tfrac32x=5y, logo um vetor é
v_1=\begin{pmatrix}10 \\[3pt]3\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=\tfrac12 temos (3-\tfrac12)x-5y=0\Rightarrow\tfrac52x=5y, logo um vetor é
v_2=\begin{pmatrix}2 \\[3pt]1\end{pmatrix}.
Assim a solução geral da parte homogênea é
\mathbf X_h(t) = C_1\,v_1\,e^{\tfrac32 t} + C_2\,v_2\,e^{\tfrac12 t}.]

Passo 4

Para a solução particular usamos o palpite
\mathbf X_p(t)=\mathbf u\,e^{\tfrac i2 t},
onde \mathbf u é vetor constante a determinar. Substituindo em \mathbf X' = A\mathbf X + \mathbf b\,e^{\tfrac i2 t}
\tfrac i2\,\mathbf u\,e^{\tfrac i2 t} = A\,\mathbf u\,e^{\tfrac i2 t} + \mathbf b\,e^{\tfrac i2 t} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\tfrac i2 I - A\bigr)\mathbf u = \mathbf b.
Em notação matricial:
\begin{pmatrix} \tfrac i2-3 & 5 \\[3pt] -\tfrac34 & \tfrac i2+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1\\[3pt]u_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolvendo o sistema complexo, achamos
\mathbf u =\begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2+5\,i\\[4pt]\tfrac{19}{10}+\tfrac{14}{5}\,i\end{pmatrix}.
Logo a solução particular é
\mathbf X_p(t) =\begin{pmatrix}2+5\,i\\[3pt]\tfrac{19}{10}+\tfrac{14}{5}\,i\end{pmatrix} e^{\tfrac i2 t}.]

Passo 6

A solução geral do sistema é a soma da homogênea com a particular:
\mathbf X(t) = C_1\begin{pmatrix}10\\\ 3\end{pmatrix}e^{\tfrac32 t} + C_2\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}e^{\tfrac12 t} +\begin{pmatrix}2+5\,i\\[3pt]\tfrac{19}{10}+\tfrac{14}{5}\,i\end{pmatrix}e^{\tfrac i2 t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

\boxed{ \mathbf X(t) = C_1\begin{pmatrix}10\\\ 3\end{pmatrix}e^{\tfrac32 t} + C_2\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}e^{\tfrac12 t} +\begin{pmatrix}2+5\,i\\[3pt]\tfrac{19}{10}+\tfrac{14}{5}\,i\end{pmatrix}e^{\tfrac i2 t}. }]

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