Questão 3: (
pontos) Considere o sistema linear homogêneo
Sabendo que a solução geral do sistema linear homogêneo associado é
encontre uma solução particular do linear não-homogêneo dado usando variação de parâmetros e apresente a solução geral do mesmo.
Solução: Procuremos por uma solução particular na forma
onde
é uma matriz fundamental e
Utilizando a solução geral da equação homogênea associada, temos que uma matriz fundamental é
Calculando a inversa, segue que
Assim, por (0.0.1), temos
o que nos leva a
e
. Integrando, e escolhendo as constantes de integração nulas, obtemos uma solução particular com
dada por
e então a solução geral é dada por
Passo 1
O enunciado dá o sistema não-homogêneo
onde
e já informa a solução geral do homogêneo
O objetivo é achar uma solução particular
pelo método da variação de parâmetros e então escrever a solução geral
.
Passo 2
Formamos uma matriz fundamental
cujas colunas são dois vetores independentes da solução homogênea:
Passo 3
Calculamos o determinante e a inversa de
.
O determinante é
O determinante é
logo
Passo 4
Pela variação de parâmetros, definimos
. Assim,
Integramos componente a componente e escolhemos constantes de integração zero:
Portanto
Passo 5
A solução particular é
Passo 6
Finalmente, a solução geral do sistema não-homogêneo é
Resposta
com solução particular
.