Se \mathrm{m} 1=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m} 2=3 \mathrm{~kg} e \mathrm{k} 1=\mathrm{k} 2=2 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, ache apenas a equação característica do sistema abaixo
\begin{aligned} & \dot{y}_{1}=y_{2} \\\ & \dot{y}_{2}=-\frac{k_{1}}{m_{1}} y_{1}+\frac{k_{2}}{m_{1}}\left(y_{3}-y_{1}\right) \\\ & \dot{y}_{3}=y_{4} \\\ & \dot{y}_{4}=-\frac{k_{2}}{m_{2}}\left(y_{3}-y_{1}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações de estado
\begin{aligned} \dot y_{1}&=y_{2},\\\ \dot y_{2}&=-\frac{k_{1}}{m_{1}}\,y_{1}+\frac{k_{2}}{m_{1}}(y_{3}-y_{1}),\\\ \dot y_{3}&=y_{4},\\\ \dot y_{4}&=-\frac{k_{2}}{m_{2}}\,(y_{3}-y_{1}), \end{aligned}
com m_{1}=1, m_{2}=3, k_{1}=k_{2}=2. Queremos achar a equação característica do sistema, ou seja \det(\lambda I - A)=0.

Passo 2

Vamos eliminar y_{2} e y_{4} para obter duas equações de segunda ordem em y_{1} e y_{3}.
– Como \dot y_{1}=y_{2} e \dot y_{2}=-\tfrac{k_{1}}{m_{1}}y_{1}+\tfrac{k_{2}}{m_{1}}(y_{3}-y_{1}), temos
\ddot y_{1}=-\frac{k_{1}}{m_{1}}y_{1}+\frac{k_{2}}{m_{1}}(y_{3}-y_{1}),
ou, multiplicando por m_{1},
m_{1}\,\ddot y_{1}+(k_{1}+k_{2})\,y_{1}-k_{2}\,y_{3}=0.
– Como \dot y_{3}=y_{4} e \dot y_{4}=-\tfrac{k_{2}}{m_{2}}(y_{3}-y_{1}), temos
\ddot y_{3}=-\frac{k_{2}}{m_{2}}(y_{3}-y_{1}),
ou
m_{2}\,\ddot y_{3}+k_{2}\,y_{3}-k_{2}\,y_{1}=0.

Passo 3

Propondo solução do tipo
y_{1}=A\,e^{\lambda t},\quad y_{3}=B\,e^{\lambda t},
substituímos em
\begin{cases} m_{1}\lambda^{2}A+(k_{1}+k_{2})A-k_{2}B=0,\\\\ -\,k_{2}A+(m_{2}\lambda^{2}+k_{2})B=0. \end{cases}

Passo 4

Em forma matricial:
\begin{pmatrix} m_{1}\lambda^{2} + (k_{1}+k_{2}) & -k_{2}\\\\ - k_{2} & m_{2}\lambda^{2} + k_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\B\end{pmatrix} =0.
Para solução não trivial,
\det \begin{pmatrix} m_{1}\lambda^{2} + (k_{1}+k_{2}) & -k_{2}\\\\ - k_{2} & m_{2}\lambda^{2} + k_{2} \end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; [m_{1}\lambda^{2}+(k_{1}+k_{2})][m_{2}\lambda^{2}+k_{2}]-k_{2}^{2}=0.

Passo 5

Substituindo m_{1}=1, m_{2}=3, k_{1}=k_{2}=2:
(1\cdot\lambda^{2}+(2+2))\,(3\lambda^{2}+2)-2^{2} =(\lambda^{2}+4)(3\lambda^{2}+2)-4=0.
Expandindo:
3\lambda^{4}+14\lambda^{2}+4=0.

Resposta

A equação característica do sistema é
3\lambda^{4}+14\lambda^{2}+4=0.

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