Considere a EDO autônoma
. Sem resolver a equação, determine o comportamento qualitativo das soluções e esboce os gráficos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) autônoma dada por:
O que isso significa? Basicamente, queremos entender como a função
se comporta ao longo do tempo sem resolver a equação diretamente. Para isso, vamos analisar qualitativamente as soluções e esboçar os gráficos. Vamos precisar entender de conceitos como pontos de equilíbrio e estabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da EDO. Esses são os valores de
onde a derivada
é zero, ou seja, onde a função não está mudando.
Então, igualamos a equação a zero:
Resolvendo essa equação:
Então, os pontos de equilíbrio são
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Isso nos diz se as soluções próximas a esses pontos vão se aproximar (estável) ou se afastar (instável) com o tempo.
Para isso, observamos o sinal de
em intervalos definidos pelos pontos de equilíbrio:
-
Para
: -
(porque é negativo) -
é negativo -
(produto de positivo e negativo é negativo, mas há um erro aqui, vamos corrigir)
Na verdade, para: -
é maior que 1, já que é negativo -
é negativo - Então,
é negativo porque positivo vezes negativo dá negativo - Portanto,
: está diminuindo
-
-
Para
: -
é positivo, pois -
é positivo -
é positivo - Portanto,
: está aumentando
-
-
Para
: -
é negativo, já que -
é positivo -
é negativo - Portanto,
: está diminuindo
-
Passo 4
Com base nisso, podemos determinar a estabilidade dos pontos de equilíbrio:
-
: As soluções próximas a 0 estão diminuindo para menos infinito para e aumentando para acima de 0 para . Isso significa que é um ponto de equilíbrio instável. -
: As soluções próximas a 3 estão aumentando para valores menores que 3 e diminuindo para valores maiores que 3. Isso indica que é um ponto de equilíbrio estável.
Passo 5
Finalmente, vamos esboçar o gráfico qualitativo das soluções:
- Para
: As soluções tendem a . - Entre
e : As soluções aumentam em direção a . - Para
: As soluções diminuem em direção a .
Então, no gráfico de
versus
, teremos:
- Uma linha horizontal em
(instável). - Uma linha horizontal em
(estável). - Setas indicando a direção das soluções conforme descrito acima.
Resposta
As soluções da EDO
possuem dois pontos de equilíbrio em
(instável) e
(estável). No gráfico qualitativo, as soluções tendem a
para qualquer valor inicial diferente de zero, enquanto
atua como ponto de equilíbrio instável. Portanto, as curvas de solução se movem em direção a
ao longo do tempo.