Considere a EDO autônoma d y/d t = (1 - y/3) y. Sem resolver a equação, determine o comportamento qualitativo das soluções e esboce os gráficos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) autônoma dada por:
O que isso significa? Basicamente, queremos entender como a função se comporta ao longo do tempo sem resolver a equação diretamente. Para isso, vamos analisar qualitativamente as soluções e esboçar os gráficos. Vamos precisar entender de conceitos como pontos de equilíbrio e estabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da EDO. Esses são os valores de onde a derivada é zero, ou seja, onde a função não está mudando.
Então, igualamos a equação a zero:
Resolvendo essa equação:
Então, os pontos de equilíbrio são e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Isso nos diz se as soluções próximas a esses pontos vão se aproximar (estável) ou se afastar (instável) com o tempo.
Para isso, observamos o sinal de em intervalos definidos pelos pontos de equilíbrio:
  1. Para :
    • (porque é negativo)
    • é negativo
    • (produto de positivo e negativo é negativo, mas há um erro aqui, vamos corrigir)
    Na verdade, para :
    • é maior que 1, já que é negativo
    • é negativo
    • Então, é negativo porque positivo vezes negativo dá negativo
    • Portanto, : está diminuindo
  2. Para :
    • é positivo, pois
    • é positivo
    • é positivo
    • Portanto, : está aumentando
  3. Para :
    • é negativo, já que
    • é positivo
    • é negativo
    • Portanto, : está diminuindo

Passo 4

Com base nisso, podemos determinar a estabilidade dos pontos de equilíbrio:
  • : As soluções próximas a 0 estão diminuindo para menos infinito para e aumentando para acima de 0 para . Isso significa que é um ponto de equilíbrio instável.
  • : As soluções próximas a 3 estão aumentando para valores menores que 3 e diminuindo para valores maiores que 3. Isso indica que é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 5

Finalmente, vamos esboçar o gráfico qualitativo das soluções:
  1. Para : As soluções tendem a .
  2. Entre e : As soluções aumentam em direção a .
  3. Para : As soluções diminuem em direção a .
Então, no gráfico de versus , teremos:
  • Uma linha horizontal em (instável).
  • Uma linha horizontal em (estável).
  • Setas indicando a direção das soluções conforme descrito acima.

Resposta

As soluções da EDO possuem dois pontos de equilíbrio em (instável) e (estável). No gráfico qualitativo, as soluções tendem a para qualquer valor inicial diferente de zero, enquanto atua como ponto de equilíbrio instável. Portanto, as curvas de solução se movem em direção a ao longo do tempo.

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