Use, se possível, o Teste da Comparação no Limite para decidir se as séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty cos (n)n^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teste da Comparação no Limite para decidir se a série converge ou diverge. Estamos no universo das séries infinitas, mais especificamente analisando a convergência das séries usando testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Comparação no Limite. Esse teste ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. Para aplicá-lo, calculamos o limite da razão entre os termos gerais das duas séries.

Passo 3

No nosso caso, temos a série . Vamos comparar com a série , que é uma série p com . Sabemos que séries p com convergem.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite limn to infty | cos(n)n^21n^2 | = limn to infty |cos(n)| :
Sabemos que oscila entre -1 e 1, então .

Passo 5

O limite não existe porque continua oscilando. Porém, sabemos que para todo , já que .

Passo 6

Como é uma série convergente (série p com ), e , pelo Teste da Comparação (não exatamente o limite aqui), podemos concluir que também converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Teste da Comparação.

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