Use, se possível, o Teste da Comparação no Limite para decidir se as séries convergem ou divergem: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teste da Comparação no Limite para decidir se a série converge ou diverge. Estamos no universo das séries infinitas, mais especificamente analisando a convergência das séries usando testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Comparação no Limite. Esse teste ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. Para aplicá-lo, calculamos o limite da razão entre os termos gerais das duas séries.
Passo 3
No nosso caso, temos a série . Vamos comparar com a série , que é uma série p com . Sabemos que séries p com convergem.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite :
Sabemos que oscila entre -1 e 1, então .
Passo 5
O limite não existe porque continua oscilando. Porém, sabemos que para todo , já que .
Passo 6
Como é uma série convergente (série p com ), e , pelo Teste da Comparação (não exatamente o limite aqui), podemos concluir que também converge.
Resposta
A série converge absolutamente pelo Teste da Comparação.