Determine se cada equação dada abaixo é exata. Se a equação é exata, resolva. Se a equação não é exata, encontre um fator de integraçõ tal que multiplicando a equação dada pelo fator de integraçõ, a torne exata e resolva.
Passo 1
Então, o que precisamos resolver aqui é uma equação diferencial. A questão pede para verificar se a equação dada é exata. Se for, resolvemos diretamente. Se não for, encontramos um fator de integração que a torna exata e então resolvemos. Para isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais e cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se elas forem iguais, a equação é exata.
Vamos calcular essas derivadas:
Passo 4
Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, concluímos que a equação é exata.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação exata. Para isso, encontramos uma função
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que pode ser determinada.
Passo 6
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão de
:
Como
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: