Determine se cada equação dada abaixo é exata. Se a equação é exata, resolva. Se a equação não é exata, encontre um fator de integraçõ tal que multiplicando a equação dada pelo fator de integraçõ, a torne exata e resolva.
(3 x^2 - 2 x y + 2) + (6 y^2 - x^2 + 3) y'

Passo 1

Então, o que precisamos resolver aqui é uma equação diferencial. A questão pede para verificar se a equação dada é exata. Se for, resolvemos diretamente. Se não for, encontramos um fator de integração que a torna exata e então resolvemos. Para isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais e cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se elas forem iguais, a equação é exata.
Vamos calcular essas derivadas:

Passo 4

Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, concluímos que a equação é exata.

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação exata. Para isso, encontramos uma função tal que:
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que pode ser determinada.

Passo 6

Agora, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:

Passo 7

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :
Como , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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