e^3 z-4=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação e^3z-4 = -1 no conjunto dos números complexos. Vamos usar o conteúdo de números complexos, em particular a forma exponencial complexa e sua periodicidade, para encontrar todas as soluções.

Passo 2

Como estamos no plano complexo, lembramos que -1 pode ser escrito em forma exponencial como e^i(pi + 2kpi), onde kinZ. Assim, temos:
-1 = e^i(pi + 2kpi)

Passo 3

Agora igualamos os argumentos do expoente em e^3z-4 com o ângulo acima, obtendo:
3z - 4 = i(pi + 2kpi), kinZ

Passo 4

Por fim, isolamos z. Somando 4 em ambos os lados e dividindo por 3, chega-se a:
z = 4 + i(pi + 2kpi)3 = 43 + i(2k+1)pi3, kinZ

Resposta

$z = \frac{4 + i(2k+1)\pi}{3}, \; k\in\mathbb{Z}$

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