Sabendo que a EDO
tem solução polinomial, determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e diz que ela tem solução polinomial. A tarefa é determinar a solução geral da EDO (ou seja, a combinação linear de duas soluções independentes que resolve a equação).
Informações relevantes:
- A EDO é de segunda ordem linear com coeficientes polinomiais.
- Foi afirmado que existe solução polinomial (isto sugere tentar uma solução em série polinomial ou assumir
polinomial). - Precisamos encontrar as duas soluções independentes e escrever a solução geral.
Passo 2
Estratégia: assumir que
é um polinômio e procurar uma relação entre coeficientes que permita terminar a série (ou seja, obter um polinômio de grau finito). Isso é equivalente a procurar uma solução na forma de série de potências que termine.
Suponha
onde
é o grau do polinômio (ainda desconhecido) e
. Então
Passo 3
Substituir
,
e
na EDO. Primeiro calcule
:
Os outros termos são
Passo 4
Reescreva todos os somatórios de modo a juntar coeficientes de
. Para o termo
com
faça a troca
(ou seja,
). Assim o coeficiente de
proveniente de
é
. Os demais termos já estão em potências
com índice
. Portanto, somando tudo, o coeficiente de
da equação é
para todo
(tomando
se
).
Passo 5
Simplifique o coeficiente multiplicativo de
:
Portanto a recorrência entre coeficientes fica
ou, isolando
,
Passo 6
Interprete a recorrência. Ela relaciona coeficientes com salto de 2 em 2: os coeficientes pares dependem de
, os ímpares dependem de
. Para que a série termine (polinômio de grau finito) deve ocorrer que, em algum passo, o numerador
seja zero para o último índice
utilizado, fazendo com que
e, portanto, todos os coeficientes subsequentes nessa paridade sejam zero.
As raízes do numerador são
e
. Isso indica que:
- Se a cadeia dos índices ímpares encontrar
, então e todos os serão zero (truncamento na paridade ímpar). - Se a cadeia dos índices pares encontrar
, então e todos os serão zero (truncamento na paridade par).
Passo 7
Calcule explicitamente alguns coeficientes iniciais a partir da recorrência para ver as soluções polinomiais geradas pelas condições iniciais
e
.
Para
na fórmula ([rec]):
Para
:
Assim
e a partir daí, usando a recorrência, todos os coeficientes ímpares superiores serão zero:
.
Para
:
Assim
e todos os coeficientes pares superiores serão zero:
.
Passo 8
Conclua a forma dos polinômios gerados por escolhas iniciais.
Caso 1: escolher
e
. Então todos os coeficientes pares são zero e, pelos cálculos,
também, logo a sequência ímpar termina em
. Assim a solução é
um polinômio de grau
.
Caso 2: escolher
e
. Então os termos ímpares são todos zero, e dos pares temos
e
, logo a solução é
um polinômio de grau
.
Passo 9
Verifique (rápida checagem) que ambas as funções realmente satisfazem a EDO:
Para
:
,
. Substituindo:
Para
:
,
. Substituindo:
Ambas satisfazem, confirmando que são soluções.
Passo 10
Como a equação é linear de segunda ordem, a solução geral é a combinação linear de duas soluções linearmente independentes. As soluções encontradas
e
são independentes (uma é ímpar, a outra é par não proporcional), portanto a solução geral é
com
constantes arbitrárias.