(1,5) Sabendo que a EDO \left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0 tem solução polinomial, determine a solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
(1+x^{2})y''-2x y'+2y=0
e diz que ela tem solução polinomial. A tarefa é determinar a solução geral da EDO (ou seja, a combinação linear de duas soluções independentes que resolve a equação).
Informações relevantes:
  • A EDO é de segunda ordem linear com coeficientes polinomiais.
  • Foi afirmado que existe solução polinomial (isto sugere tentar uma solução em série polinomial ou assumir y polinomial).
  • Precisamos encontrar as duas soluções independentes e escrever a solução geral.

Passo 2

Estratégia: assumir que y é um polinômio e procurar uma relação entre coeficientes que permita terminar a série (ou seja, obter um polinômio de grau finito). Isso é equivalente a procurar uma solução na forma de série de potências que termine.
Suponha
y(x)=\sum_{k=0}^{n} a_k x^k,
onde n é o grau do polinômio (ainda desconhecido) e a_n\neq0. Então
y'(x)=\sum_{k=1}^{n} k a_k x^{k-1}, \qquad y''(x)=\sum_{k=2}^{n} k(k-1) a_k x^{k-2}.

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na EDO. Primeiro calcule (1+x^2)y'':
(1+x^2)y''=y''+x^2 y'' =\sum_{k=2}^{n} k(k-1)a_k x^{k-2}+\sum_{k=2}^{n} k(k-1)a_k x^{k}.
Os outros termos são
-2x y'=-2\sum_{k=1}^{n} k a_k x^{k}, \qquad 2y=2\sum_{k=0}^{n} a_k x^{k}.

Passo 4

Reescreva todos os somatórios de modo a juntar coeficientes de x^m. Para o termo y'' com x^{m} faça a troca m=k-2 (ou seja, k=m+2). Assim o coeficiente de x^{m} proveniente de y'' é (m+2)(m+1)a_{m+2}. Os demais termos já estão em potências x^m com índice m=k. Portanto, somando tudo, o coeficiente de x^{m} da equação é
(m+2)(m+1)a_{m+2}+ \big(m(m-1)-2m+2\big) a_m=0,
para todo m\ge 0 (tomando a_k=0 se k>n).

Passo 5

Simplifique o coeficiente multiplicativo de a_m:
m(m-1)-2m+2=m^2-3m+2=(m-1)(m-2).
Portanto a recorrência entre coeficientes fica
(m+2)(m+1)a_{m+2}+(m-1)(m-2)a_m=0,
ou, isolando a_{m+2},
\label{rec} a_{m+2}=-\frac{(m-1)(m-2)}{(m+2)(m+1)}\,a_m.

Passo 6

Interprete a recorrência. Ela relaciona coeficientes com salto de 2 em 2: os coeficientes pares dependem de a_0, os ímpares dependem de a_1. Para que a série termine (polinômio de grau finito) deve ocorrer que, em algum passo, o numerador (m-1)(m-2) seja zero para o último índice m utilizado, fazendo com que a_{m+2}=0 e, portanto, todos os coeficientes subsequentes nessa paridade sejam zero.
As raízes do numerador são m=1 e m=2. Isso indica que:
  • Se a cadeia dos índices ímpares encontrar m=1, então a_3=0 e todos os a_5,a_7,\dots serão zero (truncamento na paridade ímpar).
  • Se a cadeia dos índices pares encontrar m=2, então a_4=0 e todos os a_6,a_8,\dots serão zero (truncamento na paridade par).

Passo 7

Calcule explicitamente alguns coeficientes iniciais a partir da recorrência para ver as soluções polinomiais geradas pelas condições iniciais a_0 e a_1.
Para m=0 na fórmula ([rec]):
a_2=-\frac{(0-1)(0-2)}{2\cdot1}a_0=-\frac{(-1)(-2)}{2}a_0=-a_0.
Para m=1:
a_3=-\frac{(1-1)(1-2)}{3\cdot2}a_1=0\cdot a_1=0.
Assim a_3=0 e a partir daí, usando a recorrência, todos os coeficientes ímpares superiores serão zero: a_5=a_7=\cdots=0.
Para m=2:
a_4=-\frac{(2-1)(2-2)}{4\cdot3}a_2=0\cdot a_2=0.
Assim a_4=0 e todos os coeficientes pares superiores serão zero: a_6=a_8=\cdots=0.

Passo 8

Conclua a forma dos polinômios gerados por escolhas iniciais.
Caso 1: escolher a_1\neq0 e a_0=0. Então todos os coeficientes pares são zero e, pelos cálculos, a_3=0 também, logo a sequência ímpar termina em a_1. Assim a solução é
y(x)=a_1 x,
um polinômio de grau 1.
Caso 2: escolher a_0\neq0 e a_1=0. Então os termos ímpares são todos zero, e dos pares temos a_2=-a_0 e a_4=0, logo a solução é
y(x)=a_0 + a_2 x^2 = a_0(1 - x^2),
um polinômio de grau 2.

Passo 9

Verifique (rápida checagem) que ambas as funções realmente satisfazem a EDO:
Para y=x: y'=1, y''=0. Substituindo:
(1+x^2)\cdot 0 -2x\cdot 1 +2x=0.
Para y=1-x^2: y'=-2x, y''=-2. Substituindo:
(1+x^2)(-2)-2x(-2x)+2(1-x^2)=-2-2x^2+4x^2+2-2x^2=0.
Ambas satisfazem, confirmando que são soluções.

Passo 10

Como a equação é linear de segunda ordem, a solução geral é a combinação linear de duas soluções linearmente independentes. As soluções encontradas y_1(x)=x e y_2(x)=1-x^2 são independentes (uma é ímpar, a outra é par não proporcional), portanto a solução geral é
y(x)=C_1 x + C_2(1-x^2),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}\bigl(1-x^{2}\bigr)

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