Considere a EDO linear com coeficientes constantes
(a)
Encontre a solução geral da EDO linear homogênea associada à EDO (1).
(b)
Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da EDO (1).
(c)
Determine a solução geral da EDO (1). A solução geral engloba todas as soluções?
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
As perguntas são:
(a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Usar o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular da equação não-homogênea.
(c) Determinar a solução geral da equação completa e responder se essa solução geral engloba todas as soluções possíveis.
(a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Usar o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular da equação não-homogênea.
(c) Determinar a solução geral da equação completa e responder se essa solução geral engloba todas as soluções possíveis.
Informações relevantes dadas:
- É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O segundo membro (termo não-homogêneo) é
. - Para a homogênea usaremos a equação característica; para a particular usaremos o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados).
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
Para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica: substituir
leva a
Agora resolvemos essa equação quadrática com a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula geral para raízes de
é
aqui
,
,
. Calculando o discriminante:
Como
, as raízes são complexas. Aplicando a fórmula:
Quando as raízes são
(com
reais), a solução geral da homogênea é
Aqui
e
. Portanto
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Explicar o método dos coeficientes a determinar (resumão didático e quando ele funciona).
Ideia principal: para uma EDO linear com coeficientes constantes e segundo membro
que é combinação linear finita de funções exponenciais, senos, cossenos e polinômios (ou produtos desses), existe uma solução particular
que tem a mesma “forma” de
com coeficientes indeterminados. Escolhe-se um ansatz (chute) para
com constantes a determinar, deriva-se, substitui-se na equação e resolve-se um sistema linear para essas constantes.
Regra de ressonância: se o ansatz proposto contém termos que também aparecem na solução homogênea (ou seja, se o segundo membro é parte da solução homogênea), multiplica-se o ansatz por
, onde
é o menor inteiro positivo que elimina a coincidência (normalmente
se há coincidência simples). No nosso caso o segundo membro é
, que não aparece puro na solução homogênea (lá aparece multiplicado por
). Logo NÃO há ressonância e podemos tentar ansatz simples em sen e cos.
Passo 4
Escolher o ansatz para a solução particular. Como o segundo membro é
, usamos
onde
e
são constantes a determinar. Expliquei por que não preciso multiplicar por
: a solução homogênea tem fatores
e
, ou seja, a parte trigonométrica está “com”
; o termo puro
ou
não está na homogênea, então não há ressonância.
Passo 5
Calcular as derivadas de
. Derivar passo a passo:
Aqui usei a regra da cadeia:
e
.
Passo 6
Substituir
,
e
na equação diferencial para obter equações para
e
.
A substituição na esquerda da EDO dá:
Agrupando termos em
e
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto
Passo 7
Impor que
satisfaça a equação, isto é, igualar a expressão obtida ao segundo membro
. Temos
Comparando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear:
Passo 8
Resolver o sistema para
e
. Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Então
Logo a solução particular é
Passo 9
Fazer uma verificação rápida (checagem) substituindo
na equação: já derivámos e montámos os coeficientes, e ao substituir obtivemos exatamente
, isto é, a combinação de coeficientes deu
. Portanto
está correta.
Passo 10
Formar a solução geral da EDO não-homogênea. Para EDOs lineares, a solução geral é soma da solução geral da homogênea com uma solução particular qualquer. Assim
Passo 11
Responder se a solução geral engloba todas as soluções. Sim: para uma EDO linear de segunda ordem, a fórmula
dá a família de todas as soluções. Explicação curta e intuitiva: se
é qualquer solução da não-homogênea e
é uma solução particular, então
satisfaz a homogênea; como a solução geral da homogênea tem dois parâmetros arbitrários
, a soma
gera toda a família de soluções possíveis da não-homogênea. Portanto a expressão acima engloba todas as soluções.
Resposta
(a)
(b)
(c)
. Sim, esta expressão representa todas as soluções da EDO.