Considere a EDO linear com coeficientes constantes
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\operatorname{sen}(2 x)
(a) (1,5) Encontre a solução geral da EDO linear homogênea associada à EDO (1).
(b) (1,5) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da EDO (1).
(c) (0,5) Determine a solução geral da EDO (1). A solução geral engloba todas as soluções?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+5y=\operatorname{sen}(2x).
As perguntas são:
(a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Usar o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular da equação não-homogênea.
(c) Determinar a solução geral da equação completa e responder se essa solução geral engloba todas as soluções possíveis.
Informações relevantes dadas:
  • É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O segundo membro (termo não-homogêneo) é \operatorname{sen}(2x).
  • Para a homogênea usaremos a equação característica; para a particular usaremos o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+5y=0.
Para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica: substituir y=e^{rx} leva a
r^{2}-2r+5=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática com a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula geral para raízes de ar^{2}+br+c=0 é
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
aqui a=1, b=-2, c=5. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas. Aplicando a fórmula:
r=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i.
Quando as raízes são r= \alpha \pm i\beta (com \alpha, \beta reais), a solução geral da homogênea é
y_{h}=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).
Aqui \alpha=1 e \beta=2. Portanto
y_{h}=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Explicar o método dos coeficientes a determinar (resumão didático e quando ele funciona).
Ideia principal: para uma EDO linear com coeficientes constantes e segundo membro g(x) que é combinação linear finita de funções exponenciais, senos, cossenos e polinômios (ou produtos desses), existe uma solução particular y_{p} que tem a mesma “forma” de g(x) com coeficientes indeterminados. Escolhe-se um ansatz (chute) para y_{p} com constantes a determinar, deriva-se, substitui-se na equação e resolve-se um sistema linear para essas constantes.
Regra de ressonância: se o ansatz proposto contém termos que também aparecem na solução homogênea (ou seja, se o segundo membro é parte da solução homogênea), multiplica-se o ansatz por x^{m}, onde m é o menor inteiro positivo que elimina a coincidência (normalmente m=1 se há coincidência simples). No nosso caso o segundo membro é \operatorname{sen}(2x), que não aparece puro na solução homogênea (lá aparece multiplicado por e^{x}). Logo NÃO há ressonância e podemos tentar ansatz simples em sen e cos.

Passo 4

Escolher o ansatz para a solução particular. Como o segundo membro é \operatorname{sen}(2x), usamos
y_{p}=A\cos(2x)+B\sin(2x),
onde A e B são constantes a determinar. Expliquei por que não preciso multiplicar por x: a solução homogênea tem fatores e^{x}\cos(2x) e e^{x}\sin(2x), ou seja, a parte trigonométrica está “com” e^{x}; o termo puro \cos(2x) ou \sin(2x) não está na homogênea, então não há ressonância.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_{p}. Derivar passo a passo:
y_{p}=A\cos(2x)+B\sin(2x),
y_{p}^{\prime}=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x),
y_{p}^{\prime\prime}=-4A\cos(2x)-4B\sin(2x).
Aqui usei a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x) e \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x).

Passo 6

Substituir y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial para obter equações para A e B.
A substituição na esquerda da EDO dá:
y_{p}^{\prime\prime}-2y_{p}^{\prime}+5y_{p}=(-4A\cos2x-4B\sin2x)-2(-2A\sin2x+2B\cos2x)+5(A\cos2x+B\sin2x).
Agrupando termos em \cos(2x) e \sin(2x):
Coeficiente de \cos(2x):
-4A - 2\cdot 2B + 5A = (-4A -4B +5A) = A -4B.
Coeficiente de \sin(2x):
-4B -2\cdot(-2A) +5B = (-4B +4A +5B) = 4A + B.
Portanto
y_{p}^{\prime\prime}-2y_{p}^{\prime}+5y_{p}=(A-4B)\cos(2x)+(4A+B)\sin(2x).

Passo 7

Impor que y_{p} satisfaça a equação, isto é, igualar a expressão obtida ao segundo membro \operatorname{sen}(2x). Temos
(A-4B)\cos(2x)+(4A+B)\sin(2x)=0\cdot\cos(2x)+1\cdot\sin(2x).
Comparando coeficientes de \cos(2x) e \sin(2x) obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A-4B=0,\\[4pt] 4A+B=1. \end{cases}]

Passo 8

Resolver o sistema para A e B. Da primeira equação A=4B. Substituindo na segunda:
4(4B)+B=1 \quad\Rightarrow\quad 16B+B=17B=1 \quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{1}{17}.
Então
A=4B=\dfrac{4}{17}.
Logo a solução particular é
y_{p}=\dfrac{4}{17}\cos(2x)+\dfrac{1}{17}\sin(2x).

Passo 9

Fazer uma verificação rápida (checagem) substituindo y_{p} na equação: já derivámos e montámos os coeficientes, e ao substituir obtivemos exatamente \operatorname{sen}(2x), isto é, a combinação de coeficientes deu 0\cdot\cos(2x)+1\cdot\sin(2x). Portanto y_{p} está correta.

Passo 10

Formar a solução geral da EDO não-homogênea. Para EDOs lineares, a solução geral é soma da solução geral da homogênea com uma solução particular qualquer. Assim
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big)+\dfrac{4}{17}\cos(2x)+\dfrac{1}{17}\sin(2x).

Passo 11

Responder se a solução geral engloba todas as soluções. Sim: para uma EDO linear de segunda ordem, a fórmula y=y_{h}+y_{p} dá a família de todas as soluções. Explicação curta e intuitiva: se y é qualquer solução da não-homogênea e y_{p} é uma solução particular, então y-y_{p} satisfaz a homogênea; como a solução geral da homogênea tem dois parâmetros arbitrários C_{1},C_{2}, a soma y_{p}+y_{h} gera toda a família de soluções possíveis da não-homogênea. Portanto a expressão acima engloba todas as soluções.

Resposta

(a) y_{h}=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big)
(b) y_{p}=\dfrac{4}{17}\cos(2x)+\dfrac{1}{17}\sin(2x)
(c) y(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big)+\dfrac{4}{17}\cos(2x)+\dfrac{1}{17}\sin(2x). Sim, esta expressão representa todas as soluções da EDO.

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