Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\cos n}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\cos n}{n^{2}}
converge ou diverge, e requer que eu cite o critério ou resultado usado. Informação dada: o termo geral é \dfrac{3+\cos n}{n^{2}} para n=1,2,\dots. Não há mais hipóteses (por exemplo, nenhuma dependência de n além do que está escrito).

Passo 2

Vou lembrar dois resultados que são úteis e fáceis de aplicar aqui (vou explicar cada um como se estivéssemos revisando rapidinho antes da prova):
  • Teste da série-p (série de p): A série
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
    converge se, e somente se, p>1. Ou seja, \sum 1/n^{2} converge porque p=2>1. Esse é um resultado clássico e muito usado em comparação.
  • Critério da comparação direta (para termos não negativos): Se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n converge. Esse é intuitivo: se um somatório maior já é finito, o menor também será.
Vou usar esses dois: mostrar que os termos da série são não-negativos e estão limitados por uma constante vezes 1/n^{2}, então comparar com uma série-p convergente.

Passo 3

Primeiro veja o numerador \;3+\cos n\;. Sabemos que, para todo n,
-1\le \cos n\le 1.
Somando 3 a essa desigualdade obtemos
2 \le 3+\cos n \le 4.
Logo, \dfrac{3+\cos n}{n^{2}} é sempre positivo (na verdade está entre \dfrac{2}{n^{2}} e \dfrac{4}{n^{2}}). Em particular,
0 \le \frac{3+\cos n}{n^{2}} \le \frac{4}{n^{2}}\qquad\text{para todo }n\ge1.

Passo 4

Aplicando o critério da comparação direta: como
\frac{3+\cos n}{n^{2}}\le \frac{4}{n^{2}}
e sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}}=4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (pela série-p com p=2>1), então pela comparação direta conclui-se que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos n}{n^{2}}
converge.

Passo 5

Além disso, como cada \dfrac{3+\cos n}{n^{2}} já é não-negativo, a própria convergência acima é, na prática, convergência absoluta. Para deixar claro: a série de valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{3+\cos n}{n^{2}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos n}{n^{2}},
que já mostramos convergir. Convergência absoluta é uma informação mais forte e garante convergência clássica também.

Resposta

Convergente (convergência absoluta).

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