Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge, e requer que eu cite o critério ou resultado usado. Informação dada: o termo geral é
para
. Não há mais hipóteses (por exemplo, nenhuma dependência de
além do que está escrito).
Passo 2
Vou lembrar dois resultados que são úteis e fáceis de aplicar aqui (vou explicar cada um como se estivéssemos revisando rapidinho antes da prova):
-
Teste da série-p (série de p): A sérieconverge se, e somente se,
. Ou seja, converge porque . Esse é um resultado clássico e muito usado em comparação. -
Critério da comparação direta (para termos não negativos): Se
para todo suficientemente grande e converge, então converge. Esse é intuitivo: se um somatório maior já é finito, o menor também será.
Vou usar esses dois: mostrar que os termos da série são não-negativos e estão limitados por uma constante vezes
, então comparar com uma série-p convergente.
Passo 3
Primeiro veja o numerador
. Sabemos que, para todo
,
Somando
a essa desigualdade obtemos
Logo,
é sempre positivo (na verdade está entre
e
). Em particular,
Passo 4
Aplicando o critério da comparação direta: como
e sabemos que a série
converge (pela série-p com
), então pela comparação direta conclui-se que
converge.
Passo 5
Além disso, como cada
já é não-negativo, a própria convergência acima é, na prática, convergência absoluta. Para deixar claro: a série de valores absolutos é
que já mostramos convergir. Convergência absoluta é uma informação mais forte e garante convergência clássica também.
Resposta
Convergente (convergência absoluta).