Considere a EDO linear de primeira ordem:
.
a) Encontre o fator integrante e a solução geral da equação.
b) Analise o comportamento da solução quando
. A solução converge para um valor finito? Justifique.
a) Encontre o fator integrante e a solução geral da equação.
b) Analise o comportamento da solução quando
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem
em
. O conteúdo é o método do fator integrante para resolver equações diferenciais lineares de 1º ordem.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
Passo 3
Multiplicamos a EDO original por
, obtendo
O lado esquerdo é exatamente
logo a equação vira
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 5
Para analisar
, usamos a expansão
. Então
Quando
ambos os termos vão a
. Portanto a solução tende a um valor finito (igual a
).
Resposta
a) O fator integrante é
e a solução geral é
b) Quando
,
. A solução converge para o valor finito
.