Considere a EDO linear de primeira ordem: y^{\prime}-\frac{2}{x} y=x^{2} \cos (x).
a) Encontre o fator integrante e a solução geral da equação.
b) Analise o comportamento da solução quando x \rightarrow 0^{+}. A solução converge para um valor finito? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem
y' - \frac{2}{x}\,y = x^{2}\cos(x),
em x>0. O conteúdo é o método do fator integrante para resolver equações diferenciais lineares de 1º ordem.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-2\ln x\bigr) = x^{-2}.

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por \mu(x)=x^{-2}, obtendo
x^{-2}y' - 2x^{-3}y = \cos(x).
O lado esquerdo é exatamente
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}y\bigr) = x^{-2}y' -2x^{-3}y,
logo a equação vira
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}y\bigr) = \cos(x).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{-2}y = \int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C,
onde C é constante de integração. Assim
y(x) = x^{2}\bigl(\sin(x) + C\bigr) = x^{2}\sin(x) + C\,x^{2}.

Passo 5

Para analisar x\to0^{+}, usamos a expansão \sin(x)\sim x. Então
y(x) = x^{2}\sin(x) + Cx^{2} \sim x^{2}\cdot x + Cx^{2} = x^{3} + Cx^{2}.
Quando x\to0^{+} ambos os termos vão a 0. Portanto a solução tende a um valor finito (igual a 0).

Resposta

a) O fator integrante é \mu(x)=x^{-2} e a solução geral é
y(x)=x^{2}\sin(x)+C\,x^{2}.
b) Quando x\to0^{+}, y(x)\to0. A solução converge para o valor finito 0.

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