Um objeto com temperatura inicial de 100^{\circ} \mathrm{C} é colocado em um ambiente cuja temperatura T_{a}(t) varia com o tempo segundo a função T_{a}(t)=20+10 e^{-0.1 t} (em { }^{\circ} \mathrm{C} ), onde t é medido em minutos. Segundo a Lei de Resfriamento de Newton, a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a sua temperatura e a temperatura do ambiente, com constante de proporcionalidade k=-0.5.
a) Modele o problema com uma equação diferencial.
b) Resolva a equação para encontrar a temperatura do objeto T(t) em qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado nos dá um objeto com T(0)=100^\circ\mathrm{C} num ambiente cuja temperatura varia segundo
T_a(t)=20+10e^{-0,1t},
e afirma que, pela Lei de Resfriamento de Newton,
\dfrac{dT}{dt} é proporcional à diferença T - T_a(t) com constante k=-0,5.
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de 1ª ordem e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Modelando a lei de Newton, escrevemos
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T - T_a(t)\bigr),
substituindo k=-0,5 e T_a(t):
\frac{dT}{dt} = -0,5\bigl(T - (20+10e^{-0,1t})\bigr).

Passo 3

Colocamos em forma padrão de EDO linear:
\frac{dT}{dt} + 0,5\,T = 0,5\,(20+10e^{-0,1t}) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{dt} + 0,5\,T = 10 + 5e^{-0,1t}.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int 0,5\,dt}=e^{0,5t}.
Multiplicando a equação por \mu(t), o lado esquerdo vira
e^{0,5t}\frac{dT}{dt} + 0,5\,e^{0,5t}T = \frac{d}{dt}\bigl(T\,e^{0,5t}\bigr).

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\frac{d}{dt}\bigl(T\,e^{0,5t}\bigr) =10\,e^{0,5t} + 5\,e^{(0,5-0,1)t} =10\,e^{0,5t} + 5\,e^{0,4t}.
Assim,
T\,e^{0,5t} = \int 10\,e^{0,5t}\,dt + \int 5\,e^{0,4t}\,dt + C =20\,e^{0,5t} + \frac{5}{0,4}e^{0,4t} + C =20\,e^{0,5t} +12,5\,e^{0,4t} + C.

Passo 6

Isolando T(t) e usando T(0)=100:
T(t) =20 +12,5\,e^{-0,1t} + C\,e^{-0,5t},
em t=0 100=20+12,5+C, logo C=67,5. Portanto
T(t)=20 +12,5\,e^{-0,1t} +67,5\,e^{-0,5t}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{dT}{dt}=-0,5\bigl(T-(20+10e^{-0,1t})\bigr),\quad T(0)=100.
b) \displaystyle T(t)=20 +12,5\,e^{-0,1t} +67,5\,e^{-0,5t}.

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