Um objeto com temperatura inicial de
é colocado em um ambiente cuja temperatura
varia com o tempo segundo a função
(em
), onde
é medido em minutos. Segundo a Lei de Resfriamento de Newton, a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a sua temperatura e a temperatura do ambiente, com constante de proporcionalidade
.
a) Modele o problema com uma equação diferencial.
b) Resolva a equação para encontrar a temperatura do objeto
em qualquer instante
.
a) Modele o problema com uma equação diferencial.
b) Resolva a equação para encontrar a temperatura do objeto
Passo 1
O enunciado nos dá um objeto com
num ambiente cuja temperatura varia segundo
e afirma que, pela Lei de Resfriamento de Newton,
é proporcional à diferença
com constante
.
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de 1ª ordem e vamos usar fator integrante para resolver.
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de 1ª ordem e vamos usar fator integrante para resolver.
Passo 2
Modelando a lei de Newton, escrevemos
substituindo
e
:
Passo 3
Colocamos em forma padrão de EDO linear:
Passo 4
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
, o lado esquerdo vira
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Assim,
Passo 6
Isolando
e usando
:
em
dá
, logo
. Portanto
Resposta
a)
b)
b)